Intégration et primitives : cours de maths Licence L1

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Cours de maths en Licence L1 : Intégration et primitives — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Intégrer, c’est mesurer une accumulation : une aire, une distance parcourue, une quantité de chaleur. Ce chapitre construit l’intégrale de Riemann, la relie aux primitives et vous donne les trois grandes techniques de calcul : intégration par parties, changement de variable et décomposition en éléments simples. Il se termine par les intégrales généralisées.

Sommaire

1. L’intégrale de Riemann

Soit \( f \) une fonction continue sur un segment \( [a\,;b] \). On note \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \) son intégrale : lorsque \( f \) est positive, c’est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \( x=a \) et \( x=b \). Lorsque \( f \) change de signe, les aires situées sous l’axe comptent négativement.

Définition

Une fonction \( f \) est continue par morceaux sur \( [a\,;b] \) s’il existe une subdivision finie de \( [a\,;b] \) telle que \( f \) soit continue sur chaque intervalle ouvert et admette des limites finies aux bornes. Toute fonction continue par morceaux est intégrable au sens de Riemann.

Propriétés de l’intégrale

Linéarité : \( \displaystyle\int_a^b (\lambda f+\mu g) = \lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g \).
Relation de Chasles : \( \displaystyle\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f \).
Positivité : si \( f\geqslant 0 \) et \( a\leqslant b \), alors \( \displaystyle\int_a^b f\geqslant 0 \). Par suite, si \( f\leqslant g \), alors \( \displaystyle\int_a^b f\leqslant\int_a^b g \).
Inégalité triangulaire : \( \displaystyle\left|\int_a^b f\right|\leqslant\int_a^b |f| \).
Valeur moyenne : \( \mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \).

2. Sommes de Riemann

Découpons \( [a\,;b] \) en \( n \) intervalles de même longueur \( \dfrac{b-a}{n} \). La somme de Riemann de \( f \) est \( S_n=\dfrac{b-a}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right) \) : c’est l’aire de \( n \) rectangles minces.

Théorème

Si \( f \) est continue sur \( [a\,;b] \), alors \( S_n \) tend vers \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \) quand \( n\to+\infty \). En particulier, \( \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\longrightarrow\int_0^1 f(x)\,dx \).

Exemple 1 : une limite de somme

Soit \( u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k^2} \). On écrit \( u_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+(k/n)^2} \), somme de Riemann de \( f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \) sur \( [0\,;1] \). Donc \( u_n\to\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4} \).

3. Primitives et théorème fondamental

Primitive

Une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \) est une fonction dérivable \( F \) telle que \( F^{\prime}=f \) sur \( I \). Deux primitives diffèrent d’une constante.

Théorème fondamental

Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( a\in I \), la fonction \( x\mapsto\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt \) est l’unique primitive de \( f \) qui s’annule en \( a \). Pour toute primitive \( F \) de \( f \) : \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b \).

Voici les primitives usuelles à connaître par cœur (la constante \( C \) est omise).

Fonction \( f \)	Primitive \( F \)	Sur
\( x^{\alpha} \) (\( \alpha\neq-1 \))	\( \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \)	\( ]0\,;+\infty[ \) en général
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \ln\|x\| \)	\( ]-\infty\,;0[ \) ou \( ]0\,;+\infty[ \)
\( e^{x} \)	\( e^{x} \)	\( \mathbb{R} \)
\( \cos x \) ; \( \sin x \)	\( \sin x \) ; \( -\cos x \)	\( \mathbb{R} \)
\( \dfrac{1}{1+x^2} \)	\( \arctan x \)	\( \mathbb{R} \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)	\( \arcsin x \)	\( ]-1\,;1[ \)
\( \dfrac{u^{\prime}}{u} \)	\( \ln\|u\| \)	là où \( u\neq0 \)

Exemple 2 : calcul direct

\( \displaystyle\int_1^2\left(3x^2-\dfrac{1}{x}\right)dx=\big[x^3-\ln x\big]_1^2=(8-\ln 2)-(1-0)=7-\ln 2 \).

4. Intégration par parties

Formule

Si \( u \) et \( v \) sont de classe \( C^1 \) sur \( [a\,;b] \) : \( \displaystyle\int_a^b u(x)v^{\prime}(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u^{\prime}(x)v(x)\,dx \).

Méthode

Repérer le facteur que la dérivation simplifie (polynôme, \( \ln x \), arctangente) : ce sera \( u \).
Le reste est \( v^{\prime} \) : en trouver une primitive \( v \).
Appliquer la formule et calculer la nouvelle intégrale, plus simple.

Exemple 3 : intégration par parties

Calculons \( \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx \). Posons \( u=\ln x \) et \( v^{\prime}=x \), donc \( u^{\prime}=\dfrac{1}{x} \) et \( v=\dfrac{x^2}{2} \). Alors \( \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^{e}-\int_1^{e}\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}=\dfrac{e^2+1}{4} \).

Le coup de Zyro

Pour intégrer \( \ln x \) seul, écrivez \( \ln x=1\times\ln x \) et posez \( v^{\prime}=1 \) : vous obtenez la primitive \( x\ln x-x \).

5. Changement de variable

Théorème

Si \( \varphi \) est de classe \( C^1 \) sur \( [\alpha\,;\beta] \) et \( f \) continue sur l’intervalle contenant \( \varphi([\alpha\,;\beta]) \), alors \( \displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\,\varphi^{\prime}(t)\,dt \).

Méthode

Choisir la substitution \( u=\varphi(t) \) qui fait apparaître \( du=\varphi^{\prime}(t)\,dt \).
Changer aussi les bornes.
Calculer la primitive en \( u \) puis évaluer : on ne revient pas à \( t \).

Exemple 4 : changement de variable

\( \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}\,dx \) : avec \( u=x^2+1 \), \( du=2x\,dx \) ; les bornes deviennent \( 1 \) et \( 2 \). Donc l’intégrale vaut \( \dfrac12\displaystyle\int_1^2\dfrac{du}{u}=\dfrac{\ln 2}{2} \).

Attention

Oublier de changer les bornes ou le facteur \( dx \) est l’erreur la plus fréquente. Vérifiez aussi que \( \varphi \) est bien \( C^1 \) sur le segment.

6. Fractions rationnelles

Pour intégrer \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), on commence par la division euclidienne si \( \deg P\geqslant\deg Q \), puis on décompose le reste en éléments simples : \( \dfrac{A}{x-a} \), \( \dfrac{A}{(x-a)^k} \) ou \( \dfrac{Bx+C}{x^2+px+q} \) (discriminant négatif).

Méthode

Factoriser le dénominateur.
Écrire la forme de la décomposition avec des coefficients inconnus.
Les trouver (multiplier par \( x-a \) puis évaluer en \( a \), ou identifier).
Intégrer terme à terme : \( \ln|x-a| \), puissances, ou \( \arctan \) après mise sous forme canonique.

Exemple 5 : éléments simples

\( \dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right) \). Donc sur \( ]1\,;+\infty[ \), une primitive est \( \dfrac12\ln\dfrac{x-1}{x+1} \), et \( \displaystyle\int_2^3\dfrac{dx}{x^2-1}=\dfrac12\left(\ln\dfrac12-\ln\dfrac13\right)=\dfrac12\ln\dfrac32 \).

Pour un trinôme sans racine réelle : \( x^2+2x+5=(x+1)^2+4 \), d’où \( \displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+2x+5}=\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}+C \).

7. Intégrales généralisées

Quand l’intervalle est non borné ou que la fonction explose à une borne, on définit l’intégrale comme une limite.

Définition

Si \( f \) est continue sur \( [a\,;+\infty[ \), l’intégrale \( \displaystyle\int_a^{+\infty} f \) est convergente si \( \displaystyle\lim_{A\to+\infty}\int_a^A f \) existe et est finie ; cette limite est sa valeur. Sinon elle est divergente. On procède de même en une borne où \( f \) n’est pas définie.

Intégrales de Riemann

\( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{dt}{t^{\alpha}} \) converge si et seulement si \( \alpha>1 \).
\( \displaystyle\int_0^{1}\dfrac{dt}{t^{\alpha}} \) converge si et seulement si \( \alpha<1 \).

Comparaison. Si \( 0\leqslant f\leqslant g \), la convergence de \( \int g \) entraîne celle de \( \int f \), et la divergence de \( \int f \) entraîne celle de \( \int g \).

Exemple 6 : deux intégrales généralisées

\( \displaystyle\int_0^{A}e^{-x}dx=1-e^{-A}\to1 \), donc \( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1 \). Et \( \displaystyle\int_{\varepsilon}^{1}\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_{\varepsilon}^{1}=-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon\to-1 \) : \( \displaystyle\int_0^1\ln x\,dx=-1 \).

À retenir

\( \displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a) \) pour toute primitive \( F \) d’une fonction continue \( f \).
Une somme de Riemann \( \dfrac1n\sum f(k/n) \) converge vers \( \int_0^1 f \).
Par parties : \( \int uv^{\prime}=[uv]-\int u^{\prime}v \) ; on change les bornes avec la variable.
Fraction rationnelle : division, factorisation, éléments simples, puis \( \ln \) et \( \arctan \).
\( \int_1^{+\infty}t^{-\alpha}dt \) converge si \( \alpha>1 \) ; \( \int_0^1 t^{-\alpha}dt \) converge si \( \alpha<1 \).