Longueurs, périmètres et aires : cours de maths 6ème

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Cours de maths en 6ème : Longueurs, périmètres et aires — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Pour border un jardin d’une clôture, il faut connaître la longueur du tour ; pour acheter de la peinture ou du gazon, il faut connaître la taille de la surface. Ce sont deux mesures bien différentes : le périmètre et l’aire. Dans ce chapitre, tu apprends à convertir les unités, puis à calculer des périmètres et des aires de figures usuelles.

Sommaire

1. Les unités de longueur

Le mètre (m) est l’unité de base. Chaque unité est 10 fois plus grande que celle qui est à sa droite dans le tableau de conversion.

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
1 000 m	100 m	10 m	1 m	0,1 m	0,01 m	0,001 m

Méthode : convertir une longueur

Place le chiffre des unités de la mesure dans la colonne de son unité.
Remplis les cases vides par des zéros.
Lis le nombre jusqu’à la colonne de l’unité demandée.

Exemple 1

Convertir \(4{,}7\text{ m}\) en centimètres : 4 est dans la colonne « m », 7 dans « dm », et on ajoute un zéro dans « cm ». On lit \(470\text{ cm}\). Ainsi \(4{,}7\text{ m} = 470\text{ cm}\).

2. Le périmètre d’un polygone

Définition

Le périmètre d’un polygone est la longueur de son contour : c’est la somme des longueurs de tous ses côtés. Il s’exprime dans une unité de longueur.

Exemple 2

Pour le pentagone ci-dessus : \(4 + 2 + 2{,}5 + 3 + 2 = 13{,}5\). Son périmètre est 13,5 cm.

Deux cas particuliers

Rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\) : \(\mathcal{P} = 2 \times (L + \ell)\).
Carré de côté \(c\) : \(\mathcal{P} = 4 \times c\).

3. Le périmètre d’un cercle

Le périmètre d’un cercle s’appelle aussi sa circonférence. Mesure avec une ficelle le tour d’une boîte ronde, puis divise par son diamètre : tu trouves toujours un peu plus de 3. Ce nombre est noté \(\pi\) (« pi »).

Périmètre d’un cercle

Pour un cercle de diamètre \(d\) et de rayon \(r\) : \[\mathcal{P} = \pi \times d = 2 \times \pi \times r.\]

En 6ème, on prend la valeur approchée \(\pi \approx 3{,}14\).

Exemple 3

Une assiette a un rayon de \(12\text{ cm}\). Son périmètre vaut \(2 \times 3{,}14 \times 12 = 75{,}36\). Le tour de l’assiette mesure environ 75,36 cm.

4. Les unités d’aire

L’aire d’une figure mesure la taille de sa surface. On la compte en carrés : l’unité d’aire est le carré dont le côté mesure une unité de longueur (1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté).

Conversions d’aires

Chaque unité d’aire est 100 fois plus grande que la suivante : on utilise deux colonnes par unité.

km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²
1 000 000 m²	10 000 m²	100 m²	1 m²	0,01 m²	0,0001 m²	0,000001 m²

Exemple 4

\(3\text{ m}^2 = 300\text{ dm}^2 = 30\,000\text{ cm}^2\). Dans l’autre sens, \(2\,500\text{ cm}^2 = 25\text{ dm}^2\).

Attention

\(1\text{ m}^2\) ne vaut pas \(10\text{ dm}^2\) mais \(100\text{ dm}^2\), car on doit compter en carrés. Et un périmètre ne se mesure jamais en cm².

5. L’aire du rectangle et du carré

Dans ce rectangle quadrillé, il y a 4 rangées de 6 carreaux, soit \(4 \times 6 = 24\) carreaux. Si un carreau mesure 1 cm de côté, l’aire est de \(24\text{ cm}^2\).

Aire du rectangle et du carré

Rectangle : \(\mathcal{A} = L \times \ell\).
Carré de côté \(c\) : \(\mathcal{A} = c \times c\).

Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de multiplier.

Exemple 5

Un jardin rectangulaire mesure \(15\text{ m}\) sur \(8\text{ m}\). Son aire est \(15 \times 8 = 120\) : 120 m². Son périmètre est \(2 \times (15 + 8) = 46\) : 46 m.

6. L’aire du triangle rectangle

Si on place deux triangles rectangles identiques côte à côte, on forme un rectangle. Un triangle rectangle est donc la moitié d’un rectangle.

Aire du triangle rectangle

Si les deux côtés de l’angle droit mesurent \(a\) et \(b\) : \[\mathcal{A} = \dfrac{a \times b}{2}.\]

Exemple 6

Triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(8\text{ cm}\) et \(5\text{ cm}\) : \(\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\). L’aire est 20 cm².

7. L’aire d’un disque

Aire du disque

Pour un disque de rayon \(r\) : \[\mathcal{A} = \pi \times r \times r.\]

Exemple 7

Un disque de rayon \(5\text{ cm}\) a pour aire \(3{,}14 \times 5 \times 5 = 78{,}5\) : environ 78,5 cm².

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on n’oublie jamais de vérifier : pour l’aire du disque, c’est le rayon qui est multiplié par lui-même, pas le diamètre !

Attention

Ne confonds pas les deux formules : \(2 \times \pi \times r\) donne le périmètre (une longueur) et \(\pi \times r \times r\) donne l’aire.

8. Comparer des aires

Pour comparer deux surfaces, on peut les découper et recomposer ou bien calculer leurs aires dans la même unité.

La figure A est un rectangle de 6 carreaux sur 3 : \(6 \times 3 = 18\) carreaux. La figure B est un rectangle de 6 sur 4 dont on a enlevé un rectangle de 3 sur 2 : \(24 - 6 = 18\) carreaux. Leurs aires sont égales (18 carreaux), mais leurs périmètres sont différents : A a un contour de \(2 \times (6 + 3) = 18\) côtés de carreau, B de \(2 \times (6 + 4) = 20\).

Attention

Deux figures peuvent avoir la même aire et des périmètres différents, et inversement. Le périmètre et l’aire ne se déduisent pas l’un de l’autre.

À retenir

Le périmètre est une longueur (en m, cm…) ; l’aire est une surface (en m², cm²…).
Pour les longueurs, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou divisant par 10 ; pour les aires, par 100.
Rectangle : \(\mathcal{P} = 2 \times (L + \ell)\) et \(\mathcal{A} = L \times \ell\) ; carré : \(\mathcal{P} = 4 \times c\) et \(\mathcal{A} = c \times c\).
Triangle rectangle : \(\mathcal{A} = \dfrac{a \times b}{2}\).
Cercle : \(\mathcal{P} = 2 \times \pi \times r\) ; disque : \(\mathcal{A} = \pi \times r \times r\), avec \(\pi \approx 3{,}14\).
On compare des aires dans la même unité ; même aire n’entraîne pas même périmètre.