Un chauffeur regarde son compteur, un skieur lit sa vitesse à l’arrivée d’une descente, un ingénieur cherche le prix qui rapporte le plus : tous se posent la même question, « à quelle vitesse la grandeur est-elle en train de varier à cet instant précis ? ». La dérivation y répond. Dans ce chapitre, tu vas passer d’une variation moyenne à une variation instantanée, apprendre à tracer des tangentes et à dériver sans effort grâce à quelques règles.
1. Le taux de variation
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\) et \(b\) deux réels distincts de \(I\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre
\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]
C’est le coefficient directeur de la sécante à la courbe passant par les points \(A\big(a\,;\,f(a)\big)\) et \(B\big(b\,;\,f(b)\big)\). Si \(f\) décrit une distance en fonction du temps, c’est la vitesse moyenne entre les deux instants.
Plus la sécante est inclinée, plus la fonction augmente vite entre \(a\) et \(b\) ; un taux négatif signale au contraire une fonction qui diminue en moyenne. Attention : ce taux ne dit rien de ce qui se passe à l’intérieur de l’intervalle, il résume seulement le trajet entre les deux extrémités.
Pour \(f(x) = x^2\) entre \(1\) et \(3\) : \(f(1) = 1\) et \(f(3) = 9\), donc le taux de variation vaut \(\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4\). La sécante \((AB)\) a pour coefficient directeur \(4\).
2. Le nombre dérivé
Rapprochons le point \(B\) du point \(A\) : on pose \(b = a + h\) avec \(h\) de plus en plus petit. Le taux de variation devient \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) se rapproche d’un nombre fixe quand \(h\) se rapproche de \(0\). Ce nombre est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\).
Pour une voiture, \(f'(a)\) est ce que lit le compteur de vitesse à l’instant \(a\) : une vitesse instantanée. Pour une courbe, c’est la pente exacte de la courbe au point d’abscisse \(a\). Si le taux ne se stabilise sur aucun nombre, comme à la pointe de la courbe de la valeur absolue en \(0\), la fonction n’est pas dérivable en ce point.
Pour \(f(x) = 3x^2 - x\) en \(a = 2\) : \(f(2) = 10\) et \(f(2+h) = 3(4 + 4h + h^2) - 2 - h = 10 + 11h + 3h^2\).
Le taux vaut \(\dfrac{11h + 3h^2}{h} = 11 + 3h\) pour \(h \neq 0\). Quand \(h\) tend vers \(0\), il tend vers \(11\) : \(f'(2) = 11\).
Le même calcul fonctionne pour un point \(a\) quelconque. Pour \(f(x) = x^2\) : \(f(a+h) - f(a) = 2ah + h^2\), donc le taux vaut \(2a + h\), qui tend vers \(2a\). On a démontré que \((x^2)' = 2x\), et en particulier \(f'(1) = 2\).
3. La tangente à une courbe
Si \(f\) est dérivable en \(a\), la courbe admet au point \(A\big(a\,;\,f(a)\big)\) une tangente de coefficient directeur \(f'(a)\). Son équation est
\[ y = f'(a)\,(x - a) + f(a). \]
- Calcule \(f(a)\) : c’est l’ordonnée du point de contact.
- Dérive \(f\), puis calcule \(f'(a)\) : c’est la pente.
- Remplace dans \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) et simplifie.
Pour \(f(x) = x^2\) en \(a = 1\) : \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = 2\) (démontré plus haut). La tangente est \(y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\), ce que montre la figure.
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est un coefficient directeur, pas une ordonnée. N’oublie ni de multiplier par \((x - a)\), ni d’ajouter \(f(a)\) à la fin.
4. La fonction dérivée et les dérivées usuelles
Quand \(f\) est dérivable en tout point d’un intervalle \(I\), on définit la fonction dérivée \(f'\) qui à chaque \(x\) associe \(f'(x)\). Plutôt que de recalculer une limite à chaque fois, on utilise ce tableau à connaître.
| Fonction \(f\) | Dérivée \(f'\) | Valable sur |
|---|---|---|
| \(f(x) = k\) (constante) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^n\) (\(n \geqslant 1\) entier) | \(f'(x) = n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;\,+\infty[\) |
Pour \(x^n\), l’exposant « descend » devant et diminue de \(1\) : \(x^5\) devient \(5x^4\). C’est comme une petite fusée qui perd un étage à chaque décollage !
5. Somme, multiple et produit
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables et \(k\) est un réel :
\[ (u + v)' = u' + v', \qquad (k\,u)' = k\,u', \qquad (u\,v)' = u'v + u\,v'. \]
Ces règles permettent de dériver tout polynôme : on dérive chaque terme, et un coefficient multiplicatif reste devant. Par exemple, \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9\) a pour dérivée \(f'(x) = 12x^2 - 10x + 7\).
Soit \(f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)\). On pose \(u(x) = 2x + 1\) et \(v(x) = x^2 - 3\), donc \(u' = 2\) et \(v' = 2x\).
\(f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)\times 2x = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6\).
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : \((u\,v)' \neq u'\,v'\). Il y a deux termes à additionner.
6. Dérivée d’un quotient
Si \(v\) ne s’annule pas sur \(I\) :
\[ \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} \qquad \text{et} \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}. \]
Soit \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 1}\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Ici \(u' = 3\) et \(v' = 1\).
\(f'(x) = \dfrac{3(x - 1) - (3x + 2)\times 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{3x - 3 - 3x - 2}{(x - 1)^2} = \dfrac{-5}{(x - 1)^2}\).
Le cas particulier \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'\) explique que la dérivée de \(\dfrac{1}{x}\) soit \(-\dfrac{1}{x^2}\). Pour un quotient, écris toujours d’abord \(u\), \(v\), \(u'\) et \(v'\) avant d’appliquer la formule, et vérifie que \(v\) ne s’annule pas sur l’intervalle étudié.
Au numérateur du quotient, l’ordre compte : c’est \(u'v - u\,v'\), et non \(u\,v' - u'v\). Une inversion change le signe du résultat !
7. Dérivée de \(x \mapsto f(ax + b)\)
Si \(g(x) = f(ax + b)\), alors \(g'(x) = a\,f'(ax + b)\) pour les \(x\) où \(ax + b\) est dans l’ensemble de dérivabilité de \(f\).
\(g(x) = (3x - 5)^4\) : ici \(f(X) = X^4\), \(a = 3\), donc \(g'(x) = 3 \times 4\,(3x - 5)^3 = 12(3x - 5)^3\).
\(h(x) = \sqrt{2x + 1}\) sur \(\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[\) : \(h'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}\).
8. Dérivée et variations
Sur un intervalle \(I\) : si \(f'(x) \geqslant 0\) partout sur \(I\), alors \(f\) est croissante ; si \(f'(x) \leqslant 0\), \(f\) est décroissante. Quand \(f'\) s’annule en changeant de signe, la courbe a une tangente horizontale et \(f\) admet un extremum local.
Cette propriété est la clé des problèmes d’optimisation : pour trouver le plus grand bénéfice, la plus petite dépense ou l’aire maximale, on cherche les points où la dérivée s’annule en changeant de signe. Mais \(f'(x) = 0\) ne suffit pas à elle seule : pour \(f(x) = x^3\), on a \(f'(0) = 0\) et pourtant la fonction reste croissante, sans extremum.
- Calcule \(f'(x)\) et factorise-la.
- Étudie son signe (tableau de signes).
- Déduis les variations de \(f\) et calcule les valeurs aux extrema.
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\). Alors \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\), positive pour \(x < -1\) et pour \(x > 1\), négative entre \(-1\) et \(1\). Comme \(f(-1) = 2\) et \(f(1) = -2\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| signe de \(f'(x)\) | + | 0 puis − | 0 puis + | |
| variations de \(f\) | croissante | maximum 2 | minimum −2 | croissante |
À retenir
- Taux de variation : \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\), pente de la sécante.
- Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite du taux \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) quand \(h \to 0\), et la pente de la tangente.
- Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
- Usuelles : \((x^n)' = n\,x^{n-1}\), \(\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\), \((\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
- \((u + v)' = u' + v'\), \((uv)' = u'v + uv'\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
- \(\big(f(ax + b)\big)' = a\,f'(ax + b)\).
- \(f' \geqslant 0\) : \(f\) croissante ; \(f' \leqslant 0\) : \(f\) décroissante.
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