Géométrie dans l'espace : cours de maths Terminale

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Cours de maths en Terminale : Géométrie dans l'espace — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Un drone qui longe une façade, une grue qui déplace une charge, un toit qui s’appuie sur des poutres : tout cela se passe dans l’espace, et les coordonnées permettent de le décrire avec précision. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer avec les vecteurs de l’espace, à décrire droites et plans par des équations, puis à mesurer angles et distances grâce au produit scalaire.

Sommaire

1. Vecteurs de l’espace et coplanarité

Les vecteurs de l’espace se manipulent comme ceux du plan, avec une coordonnée de plus. Dans un repère \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\). Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.

Vecteurs coplanaires

Des vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si leurs représentants d’origine un même point \(O\) sont tous dans un même plan.

Caractérisation

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, alors \(\vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) si et seulement s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \[ \vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}. \]

Dans le cube ci-dessus, \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{AG}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont coplanaires, ce qui signifie que les points \(A\), \(C\), \(G\), \(E\) sont dans un même plan.

Exemple 1

Soient \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,1)\), \(C(0\,;\,2\,;\,3)\). On a \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1\,;\,2\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires.

Pour \(D(6\,;\,0\,;\,-1)\) : \(\overrightarrow{AD}(5\,;\,0\,;\,-3)=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\), donc \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires.

Pour \(E(2\,;\,2\,;\,2)\) : \(\overrightarrow{AE}(1\,;\,2\,;\,0)=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) donnerait \(2a-b=1\), \(a+2b=2\) et \(-a+b=0\). Les deux dernières équations imposent \(a=b\), puis \(3a=2\), soit \(a=b=\dfrac23\), alors que la première donne \(2a-b=a=1\) : contradiction, donc \(E\) n’est pas dans le plan \((ABC)\).

2. Représentations paramétriques d’une droite

Représentation paramétrique

La droite \(d\) passant par \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a\,;\,b\,;\,c)\) non nul est l’ensemble des points \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) tels que \(\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}\), c’est-à-dire \[ \begin{cases} x = x_A + t\,a\\ y = y_A + t\,b\\ z = z_A + t\,c \end{cases}\qquad (t\in\mathbb{R}). \]

Exemple 2

Droite \((AB)\) avec \(A(1\,;\,2\,;\,-1)\) et \(B(4\,;\,0\,;\,2)\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}(3\,;\,-2\,;\,3)\) dirige la droite, donc \(x=1+3t\), \(y=2-2t\), \(z=-1+3t\).

Le point \(C(7\,;\,-2\,;\,5)\) correspond à \(t=2\) pour les trois équations : il appartient à la droite. Le point \(D(-2\,;\,4\,;\,-3)\) donne \(t=-1\) avec \(x\) et \(y\), mais \(z=-1-3=-4\neq-3\) : il n’y appartient pas.

Piège

Une représentation paramétrique n’est pas unique : on peut changer de point de départ ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul. Pour savoir si un point est sur la droite, il faut que la même valeur de \(t\) convienne pour les trois coordonnées.

3. Produit scalaire dans l’espace

Produit scalaire et norme

Dans un repère orthonormé, pour \(\vec{u}(x\,;\,y\,;\,z)\) et \(\vec{v}(x'\,;\,y'\,;\,z')\) : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz',\qquad \lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \] Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert\cos\theta\) où \(\theta\) est l’angle géométrique des deux vecteurs.

Le produit scalaire est symétrique et se développe comme un produit : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\) et \((k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\). On en tire \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\lVert\vec{u}\rVert^2\).

Exemple 3

Pour \(\vec{u}(1\,;\,2\,;\,2)\) et \(\vec{v}(2\,;\,-1\,;\,2)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-2+4=4\) et \(\lVert\vec{u}\rVert=\lVert\vec{v}\rVert=3\). Alors \(\cos\theta=\dfrac{4}{9}\), d’où \(\theta\approx 63{,}6^\circ\).

4. Orthogonalité

Critère d’orthogonalité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Exemple 4

Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)\) et \(\vec{v}(1\,;\,5\,;\,1)\) vérifient \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-5+3=0\) : ils sont orthogonaux.

Piège

Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcément perpendiculaires : elles peuvent ne pas se couper. Les arêtes \((AB)\) et \((EH)\) d’un cube sont orthogonales, mais n’ont aucun point commun.

5. Vecteur normal et équation cartésienne d’un plan

Vecteur normal

Un vecteur non nul \(\vec{n}\) est normal à un plan \(P\) s’il est orthogonal à tous les vecteurs de \(P\), c’est-à-dire à deux vecteurs non colinéaires de \(P\).

Équation cartésienne

Le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0\). Il admet une équation de la forme \[ ax+by+cz+d=0. \] Réciproquement, toute équation de cette forme avec \((a\,;\,b\,;\,c)\neq(0\,;\,0\,;\,0)\) est celle d’un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\).

Plan défini par trois points non alignés

Calcule deux vecteurs, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Cherche \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) tel que \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) : un système de deux équations à trois inconnues, où l’on fixe une valeur simple.
Écris \(ax+by+cz+d=0\), puis trouve \(d\) avec les coordonnées de \(A\).
Vérifie avec \(B\) et \(C\).

Exemple 5

Avec \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,1)\), \(C(0\,;\,2\,;\,3)\) : \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;\,2\,;\,1)\). Le système \(2a+b-c=0\) et \(-a+2b+c=0\) donne, en additionnant, \(a+3b=0\). Avec \(b=-1\) : \(a=3\) et \(c=2a+b=5\), soit \(\vec{n}(3\,;\,-1\,;\,5)\).

Le plan a pour équation \(3x-y+5z+d=0\). Avec \(A\) : \(3+10+d=0\), donc \(d=-13\) et \((ABC)\,:\,3x-y+5z-13=0\). Contrôle avec \(B\) : \(9-1+5-13=0\).

6. Positions relatives de droites et de plans

Soit \(d\) une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(P\) un plan de vecteur normal \(\vec{n}\).

Situation	Condition	Conclusion
\(d\) et \(P\)	\(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0\)	sécants en un unique point
\(d\) et \(P\)	\(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)	\(d\) parallèle à \(P\) : incluse si un point de \(d\) est dans \(P\), strictement parallèle sinon
\(P\) et \(P'\)	\(ec{n}\) et \(ec{n}'\) colinéaires	parallèles : confondus ou strictement parallèles
\(P\) et \(P'\)	\(ec{n}\) et \(ec{n}'\) non colinéaires	sécants selon une droite

Exemple 6

Soit \(d\,:\,x=1+2t,\ y=-t,\ z=3+t\) et \(Q\,:\,x+2y+z-8=0\). Comme \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,1)\cdot\vec{n}(1\,;\,2\,;\,1)=1\neq0\), la droite coupe le plan. On remplace : \((1+2t)+2(-t)+(3+t)-8=t-4=0\), donc \(t=4\) et le point d’intersection est \((9\,;\,-4\,;\,7)\).

Piège

Quand \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\), ne conclus pas « parallèle » trop vite : il reste à tester un point de la droite dans l’équation du plan pour savoir si elle est incluse.

7. Distance d’un point à un plan

Distance et projeté orthogonal

Pour le plan \(P\,:\,ax+by+cz+d=0\) et le point \(M(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)\), la distance de \(M\) à \(P\) est la longueur \(MH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(P\), et \[ d(M,P)=\dfrac{\lvert ax_0+by_0+cz_0+d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]

Pour trouver \(H\), on écrit que \(\overrightarrow{MH}\) est colinéaire à \(\vec{n}\), puis que \(H\) est dans \(P\) : on obtient la droite passant par \(M\) et dirigée par \(\vec{n}\), puis son intersection avec \(P\).

Exemple 7

Soit \(P\,:\,2x-2y+z-5=0\) et \(M(2\,;\,3\,;\,1)\). Alors \(2\times2-2\times3+1-5=-6\) et \(\sqrt{4+4+1}=3\), donc \(d(M,P)=\dfrac{6}{3}=2\).

La droite \((MH)\) : \(x=2+2t,\ y=3-2t,\ z=1+t\). Dans \(P\) : \(2(2+2t)-2(3-2t)+(1+t)-5=9t-6=0\), donc \(t=\dfrac{2}{3}\) et \(H\left(\dfrac{10}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right)\).

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on vérifie toujours un projeté en deux temps : est-il dans le plan ? Le vecteur \(\overrightarrow{MH}\) est-il colinéaire au vecteur normal ? Si les deux réponses sont oui, c’est gagné !

À retenir

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, \(\vec{w}\) leur est coplanaire \(\iff\) \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\).
Droite : \(x=x_A+ta,\ y=y_A+tb,\ z=z_A+tc\), avec \(\vec{u}(a\,;\,b\,;\,c)\) vecteur directeur.
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) ; \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) ; \(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert}\).
Plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) : \(ax+by+cz+d=0\).
Droite et plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq0\) sécants, \(=0\) parallèles ou incluse. Deux plans : normaux colinéaires ou non.
\(d(M,P)=\dfrac{\lvert ax_0+by_0+cz_0+d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).