Additionner une infinité de nombres : l’idée semble absurde, et pourtant \( 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2 \). Dans ce chapitre, on donne un sens précis à ces sommes infinies, on apprend à décider si elles « existent » et à les estimer quand on ne sait pas les calculer exactement.
1. Série et sommes partielles
Soit \( (u_n)_{n\geq 0} \) une suite réelle ou complexe. Sa somme partielle d’ordre \( N \) est \( S_N=\sum_{n=0}^{N}u_n \). La série \( \sum u_n \) converge si la suite \( (S_N) \) converge ; sa limite est la somme \( S=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n \). Sinon elle diverge. Quand elle converge, le reste \( R_N=S-S_N=\sum_{n\gt N}u_n \) tend vers \( 0 \).
Si \( \sum u_n \) converge, alors \( u_n\to 0 \). En effet \( u_N=S_N-S_{N-1} \) tend vers \( S-S=0 \). La réciproque est fausse. Si \( u_n \) ne tend pas vers \( 0 \), la série diverge grossièrement.
Pour \( n\geq 1 \), \( \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1} \). Donc \( S_N=1-\dfrac{1}{N+1}\to 1 \) : la série converge et \( \sum_{n\geq1}\dfrac{1}{n(n+1)}=1 \).
Voici les premières sommes partielles de \( \sum 1/n^2 \) : elles croissent et semblent s’arrêter sous la barre pointillée.
2. Séries de référence
- Géométrique : \( \sum q^n \) converge si et seulement si \( |q|\lt 1 \), et alors \( \sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\dfrac{1}{1-q} \).
- Riemann : \( \sum_{n\geq1}\dfrac{1}{n^{\alpha}} \) converge si et seulement si \( \alpha\gt 1 \).
- Exponentielle : pour tout \( x \) réel (ou complexe), \( \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x \), avec convergence absolue.
La série \( \sum 1/n \) a un terme général qui tend vers \( 0 \), mais elle diverge : \( S_{2N}-S_N\geq N\cdot\frac{1}{2N}=\frac12 \), donc \( (S_N) \) n’est pas de Cauchy.
\( \sum_{n\geq1}\dfrac{2^{n+1}}{5^n}=2\sum_{n\geq1}\left(\dfrac25\right)^n=2\cdot\dfrac{2/5}{1-2/5}=\dfrac43 \).
3. Séries à termes positifs et comparaison
Si \( u_n\geq 0 \), la suite \( (S_N) \) est croissante : la série converge si et seulement si \( (S_N) \) est majorée. De plus, si \( 0\leq u_n\leq v_n \) à partir d’un certain rang, alors \( \sum v_n \) convergente entraîne \( \sum u_n \) convergente, et \( \sum u_n \) divergente entraîne \( \sum v_n \) divergente. Le même résultat vaut si \( u_n=O(v_n) \), \( u_n=o(v_n) \) ou \( u_n\sim v_n \) avec \( v_n\geq0 \) ; pour \( u_n\sim v_n \) les deux séries ont même nature.
- Vérifier que \( u_n\to 0 \) (sinon la série diverge grossièrement).
- Chercher un équivalent simple \( u_n\sim \dfrac{c}{n^{\alpha}} \) ou une majoration par un terme de référence.
- Conclure avec Riemann (\( \alpha\gt1 \) ou non) ou avec une série géométrique.
\( \dfrac{2n+1}{n^3+5}\sim\dfrac{2}{n^2} \), terme positif d’une série de Riemann convergente (\( \alpha=2 \)) : la série converge. En revanche \( \dfrac{1}{n+\sqrt n}\sim\dfrac1n \) : la série diverge.
4. Convergence absolue
La série \( \sum u_n \) est absolument convergente si \( \sum |u_n| \) converge. Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.
Toute série absolument convergente converge, et \( \left|\sum u_n\right|\leq\sum|u_n| \). Pour des réels, on écrit \( u_n=u_n^{+}-u_n^{-} \) avec \( 0\leq u_n^{\pm}\leq|u_n| \) ; chaque partie est une série positive majorée.
\( \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|\leq\dfrac{1}{n^2} \), donc \( \sum\dfrac{\sin n}{n^2} \) converge absolument, donc converge.
5. Séries alternées
Si \( (a_n) \) est positive, décroissante et de limite \( 0 \), alors \( \sum(-1)^na_n \) converge. De plus le reste \( R_N \) est du signe de \( (-1)^{N+1} \) et \( |R_N|\leq a_{N+1} \) : la somme est comprise entre deux sommes partielles consécutives.
Pour \( \sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \), les sommes partielles encadrent la somme \( \ln 2 \) en oscillant :
Avec \( a_n=1/n \) : \( S_5=\dfrac{47}{60}\approx0{,}783 \) et \( |R_5|\leq\dfrac16 \). On a donc \( \ln 2\in\left[S_5-\tfrac16,\,S_5\right]\approx[0{,}617;\,0{,}783] \) ; la figure montre bien \( 0{,}693 \) dans cet intervalle.
Les séries \( \sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n} \) et \( \sum\left(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}+\dfrac1n\right) \) ont des termes équivalents, mais la première converge et la seconde diverge. L’équivalence ne conserve la nature qu’à signe constant ; sinon on fait un développement asymptotique.
6. Comparaison série-intégrale
Soit \( f \) continue, positive et décroissante sur \( [1,+\infty[ \). Pour \( k\geq 1 \), \( \displaystyle\int_k^{k+1}f(t)\,dt\leq f(k)\leq\int_{k-1}^{k}f(t)\,dt \) (la seconde inégalité pour \( k\geq2 \)). Ainsi \( \sum f(n) \) converge si et seulement si \( \int_1^{+\infty}f \) converge, et en cas de convergence \( \displaystyle\int_{N+1}^{+\infty}f\leq R_N\leq\int_{N}^{+\infty}f \).
Avec \( f(t)=1/t \) : \( \ln(N+1)\leq H_N=\sum_{k=1}^N\frac1k\leq 1+\ln N \). On en déduit \( H_N\sim\ln N \). Avec \( f(t)=1/t^2 \) on retrouve \( \dfrac{1}{N+1}\leq R_N\leq\dfrac1N \) pour \( \sum 1/n^2 \).
Sur ta feuille, dessine toujours les rectangles : on voit tout de suite quel sens de l’inégalité est le bon, selon que \( f \) est croissante ou décroissante.
7. Sommation des relations de comparaison
Soit \( u_n\sim v_n \) avec \( v_n\gt0 \) à partir d’un rang.
- Si \( \sum v_n \) converge, alors \( \sum u_n \) converge et les restes sont équivalents : \( \sum_{k\gt N}u_k\sim\sum_{k\gt N}v_k \).
- Si \( \sum v_n \) diverge, alors les sommes partielles sont équivalentes : \( \sum_{k\leq N}u_k\sim\sum_{k\leq N}v_k \).
Les relations \( u_n=o(v_n) \) et \( u_n=O(v_n) \) se somment de la même manière.
\( \dfrac{1}{k+\sqrt k}\sim\dfrac1k \) et \( \sum1/k \) diverge, donc \( \sum_{k\leq N}\dfrac{1}{k+\sqrt k}\sim H_N\sim\ln N \). De même \( \dfrac{1}{k^2+3}\sim\dfrac1{k^2} \) et \( \sum_{k\gt N}\dfrac{1}{k^2}\sim\dfrac1N \), donc \( \sum_{k\gt N}\dfrac{1}{k^2+3}\sim\dfrac1N \).
8. Produit de Cauchy
Le produit de Cauchy de \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) est la série de terme général \( w_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k} \).
Si \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge absolument et \( \sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n\right) \).
Avec \( u_n=x^n/n! \) et \( v_n=y^n/n! \), \( w_n=\dfrac{(x+y)^n}{n!} \) par la formule du binôme, d’où \( e^xe^y=e^{x+y} \). Avec \( u_n=v_n=x^n \) et \( |x|\lt1 \), \( w_n=(n+1)x^n \) donc \( \sum_{n\geq0}(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1-x)^2} \).
À retenir
- Une série converge si ses sommes partielles convergent ; il faut déjà \( u_n\to0 \), mais cela ne suffit pas.
- Références : géométrique (\( |q|\lt1 \)), Riemann (\( \alpha\gt1 \)), exponentielle (toujours convergente).
- Termes positifs : sommes partielles majorées, comparaison, domination, équivalents.
- Convergence absolue implique convergence ; le critère des séries alternées donne \( |R_N|\leq a_{N+1} \).
- Série-intégrale pour \( f \) décroissante ; sommation des équivalents (restes si convergence, sommes partielles si divergence) ; produit de Cauchy exigeant la convergence absolue.
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