1 Diagonalisation et puissances / 4 pts
Soit \(K = \begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}\).
- Déterminer \(\chi_K\) et ses racines. \(K\) est-elle diagonalisable ?
- Trouver une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1}KP\) soit diagonale.
- Calculer \(K^n\) pour tout entier \(n \geq 0\).
2 Cayley-Hamilton / 4 pts
Soit \(L = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\2&-1&2\end{pmatrix}\).
- Montrer que \(\chi_L = X^3 - 2X^2 + X - 2\) et le factoriser dans \(\mathbb{R}\) puis dans \(\mathbb{C}\).
- En déduire que \(L\) est inversible et exprimer \(L^{-1}\) comme polynôme en \(L\). Calculer \(L^{-1}\).
- \(L\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ? sur \(\mathbb{C}\) ?
3 Polynôme minimal et diagonalisabilité / 4 pts
Soit \(S = \begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) et \(T = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
- Calculer \(\chi_S\), \(\chi_T\).
- Déterminer \(\mu_S\) et \(\mu_T\).
- Lesquelles de ces matrices sont diagonalisables ?
4 Décomposition de Dunford / 4 pts
Soit \(V = \begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\).
- Montrer que \(V\) n’est pas diagonalisable.
- Donner la décomposition de Dunford \(V = D + N\).
- Calculer \(V^k\) pour \(k \geq 1\), puis \(V^4\).
5 Jordan / 4 pts
Soit \(W\) un endomorphisme de \(\mathbb{C}^4\) dont la seule valeur propre est \(3\), avec \(\dim\ker(W - 3\mathrm{Id}) = 2\), \(\dim\ker(W - 3\mathrm{Id})^2 = 3\) et \(\dim\ker(W - 3\mathrm{Id})^3 = 4\).
- Donner \(\chi_W\) et déterminer les blocs de Jordan de \(W\).
- Écrire la matrice de Jordan de \(W\) et son polynôme minimal.
- \(W\) est-elle diagonalisable ? Justifier. Donner sa décomposition de Dunford dans une base de Jordan.
Entraîne-toi : défi express de Licence L3
🚀 Zyro te conseille la suite
🏅 Corrigés de contrôles de mathsRéduction des endomorphismes : corrigé du contrôle de maths Licence L3
📘 Cours de mathsRéduction des endomorphismes : cours de maths Licence L3
✏️ Exercices de mathsRéduction des endomorphismes : exercices de maths Licence L3
🏅 Corrigés de contrôles de mathsGroupes, anneaux et corps : corrigé du contrôle de maths Licence L3
🏅 Corrigés de contrôles de mathsTopologie des espaces métriques : corrigé du contrôle de maths Licence L3
📘 Cours de mathsGroupes, anneaux et corps : cours de maths Licence L3