Réduction des endomorphismes : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Un polynôme qui annule ★★★

a) \(A^2 = \begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}\), donc \(P(A) = \begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10&5\\0&15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\).

b) \(P\) annule \(A\), donc \(\mu_A\) divise \(P = (X-2)(X-3)\). Les valeurs propres de la triangulaire \(A\) sont \(2\) et \(3\), racines de \(\mu_A\) ; donc \(\mu_A = (X-2)(X-3) = X^2 - 5X + 6\). Comme il est scindé à racines simples, \(A\) est diagonalisable.

2 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai. \((D-2I)(D-5I) = 0\) pour \(D = \mathrm{diag}(2,2,5)\), et ni \(X-2\) ni \(X-5\) n’annule \(D\).

b) Faux. D’après Cayley-Hamilton, \(\mu\) divise \(\chi\) qui est de degré \(3\), donc \(\deg\mu \leq 3\).

c) Vrai. En dimension au plus \(3\), \(\chi\) et \(\mu\) déterminent les tailles des blocs de Jordan : par exemple pour \(\chi = (X-1)^3\), \(\mu = (X-1)^2\) impose les blocs \(2\) et \(1\) ; \(\mu = (X-1)^3\) impose un bloc de taille \(3\) ; \(\mu = X - 1\) impose la diagonale.

3 Spectre d’une triangulaire ★★★

\(T\) est triangulaire supérieure, donc \(\chi_T = (X-1)(X-3)(X-1) = (X-1)^2(X-3)\). Les valeurs propres sont \(1\) (multiplicité \(2\)) et \(3\) (multiplicité \(1\)).

\(\chi_T\) est scindé sur \(\mathbb{R}\) ; la matrice \(T\) est déjà triangulaire, donc trigonalisable (c’est évident ici).

4 Trace et déterminant ★★★

a) \(\chi_A = X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)\). Deux valeurs propres distinctes : \(A\) est diagonalisable, \(\mu_A = \chi_A = (X-2)(X-3)\).

b) \(\chi_A = X^2 - 6X + 9 = (X-3)^2\). Alors \(\mu_A\) vaut \(X - 3\) ou \((X-3)^2\). \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\mu_A = X - 3\), c’est-à-dire \(A = 3I\). Toute autre matrice de trace \(6\) et déterminant \(9\), comme \(\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}\), n’est pas diagonalisable.

5 Inverse par Cayley-Hamilton ★★★

Trace \(3\), déterminant \(2 - 1 = 1\), donc \(\chi_A = X^2 - 3X + 1\). D’après Cayley-Hamilton, \(A^2 - 3A + I = 0\) (vérification : \(A^2 = \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\), et \(\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6&3\\3&3\end{pmatrix} + I = 0\)).

Alors \(A(3I - A) = 3A - A^2 = I\), donc \(A^{-1} = 3I - A = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).

6 Un nilpotent d’ordre 3 ★★★

\(N^2 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \neq 0\) et \(N^3 = 0\). Donc \(\mu_N = X^3\) ; par Cayley-Hamilton et car la seule valeur propre est \(0\), \(\chi_N = X^3\) aussi.

Comme \((I + N)(I - N + N^2) = I + N^3 = I\), on a \((I+N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\).

7 Projecteurs et symétries ★★★

\(p^2 = p\) donc \(\mu_p\) divise \(X^2 - X = X(X-1)\). Comme \(p \neq 0\) et \(p \neq \mathrm{Id}\), ni \(X\) ni \(X - 1\) n’annule \(p\) : \(\mu_p = X(X-1)\). Il est scindé à racines simples, donc \(p\) est diagonalisable avec \(E = \ker p \oplus \ker(p - \mathrm{Id})\).

De même \(\mu_s\) divise \(X^2 - 1 = (X-1)(X+1)\), et \(s \neq \pm\mathrm{Id}\) impose \(\mu_s = X^2 - 1\) : \(s\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).

8 Diagonaliser et calculer les puissances ★★★

\(\chi_A = X^2 - 7X + 10 = (X-2)(X-5)\). Le vecteur \((1,1)\) est propre pour \(5\) (\(A(1,1) = (5,5)\)) et \((1,-2)\) pour \(2\) (\(A(1,-2) = (2,-4)\)). Avec \(P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\), \(P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}\) et \(P^{-1}AP = \mathrm{diag}(5,2)\).

Donc \(A^k = P\,\mathrm{diag}(5^k,2^k)\,P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2\cdot 5^k + 2^k&5^k - 2^k\\2\cdot 5^k - 2\cdot 2^k&5^k + 2\cdot 2^k\end{pmatrix}\).

Pour \(k = 4\) : \(5^4 = 625\), \(2^4 = 16\), d’où \(A^4 = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1266&609\\1218&657\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}422&203\\406&219\end{pmatrix}\).

9 Une matrice non diagonalisable ★★★

\(B\) est triangulaire : \(\chi_B = (X-2)^2(X-3)\). On a \(B - 2I = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) de rang \(2\), donc \(\dim\ker(B-2I) = 1 \neq 2\) : \(B\) n’est pas diagonalisable.

Le polynôme \((X-2)(X-3)\) n’annule pas \(B\) (le produit \((B-2I)(B-3I) = \begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) est non nul), donc \(\mu_B = (X-2)^2(X-3)\), qui a une racine double.

10 Lemme des noyaux en pratique ★★★

a) \(A^2 = \begin{pmatrix}7&-6\\3&-2\end{pmatrix}\), puis \(A^2 - 3A + 2I = \begin{pmatrix}7-9+2&-6+6\\3-3&-2+0+2\end{pmatrix} = 0\).

b) Comme \((X-1) - (X-2) = 1\), le projecteur sur \(\ker(A - I)\) est \(p_1 = -(A - 2I) = \begin{pmatrix}-1&2\\-1&2\end{pmatrix}\) et celui sur \(\ker(A - 2I)\) est \(p_2 = A - I = \begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\). On a \(p_1x = (-3+4, -3+4) = (1,1)\) et \(p_2x = (6-4, 3-2) = (2,1)\). Ainsi \(x = (1,1) + (2,1)\), avec \(A(1,1) = (1,1)\) et \(A(2,1) = (4,2) = 2(2,1)\).

11 Trigonaliser une matrice 2x2 ★★★

\(\chi_C = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2\) et \(C \neq 2I\), donc \(C\) n’est pas diagonalisable (sinon \(C = 2I\)). Le noyau de \(C - 2I = \begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\) est engendré par \(u_1 = (1,-1)\).

On prend \(u_2 = (1,0)\). Alors \(Cu_2 = (1,1) = -u_1 + 2u_2\) et \(Cu_1 = 2u_1\). Avec \(P = \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\), \(P^{-1}CP = \begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}\).

12 Polynômes minimaux de deux matrices ★★★

Les deux ont \(\chi = (X-1)^2(X-2)\). Pour \(F\), \((F-I)(F-2I) = 0\), donc \(\mu_F = (X-1)(X-2)\).

Pour \(E_1\) : \((E_1 - I)(E_1 - 2I) = \begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \neq 0\), donc \(\mu_{E_1} \neq (X-1)(X-2)\) ; comme \((E_1-I)^2(E_1-2I) = 0\), on a \(\mu_{E_1} = (X-1)^2(X-2)\).

Les polynômes minimaux diffèrent, donc \(E_1\) et \(F\) ne sont pas semblables.

13 Dunford d’une matrice 2x2 ★★★

La seule valeur propre est \(2\). On pose \(D = 2I\) (diagonale) et \(N = C - 2I = \begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\). On a \(N^2 = 0\) et \(DN = ND\) car \(D\) est scalaire. Ainsi \(C = D + N\) est la décomposition de Dunford ; par unicité, c’est la seule.

14 Puissances par le binôme ★★★

\(D = 2I\) commute avec \(N\) et \(N^2 = 0\), donc \(C^k = (2I + N)^k = 2^kI + k\,2^{k-1}N\).

Pour \(k = 5\) : \(C^5 = 32I + 80N = \begin{pmatrix}32-80&-80\\80&32+80\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-48&-80\\80&112\end{pmatrix}\).

15 Une suite récurrente linéaire ★★★

On a \(\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_1\\u_0\end{pmatrix}\). \(\chi_A = X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)\), donc \(A\) est diagonalisable, de vecteurs propres \((2,1)\) pour \(2\) et \((3,1)\) pour \(3\).

Ainsi \(u_n = \alpha 2^n + \beta 3^n\). Les conditions \(\alpha + \beta = 1\) et \(2\alpha + 3\beta = 4\) donnent \(\beta = 2\), \(\alpha = -1\) : \(u_n = 2\cdot 3^n - 2^n\). Vérification : \(u_2 = 18 - 4 = 14 = 5\cdot 4 - 6\cdot 1\).

16 Forme de Jordan d’une matrice 3x3 ★★★

\(N = G - I = \begin{pmatrix}-1&1&0\\0&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\). On calcule \(N^2 = \begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\), de rang \(1\), et \(N^3 = 0\). Donc \(N\) est nilpotent, la seule valeur propre de \(G\) est \(1\) et \(\chi_G = (X-1)^3\) ; de plus \(\mu_G = (X-1)^3\).

Un bloc de taille \(3\) : on prend \(v = e_1\) (car \(N^2e_1 \neq 0\)). Alors \(Nv = (-1,0,1)\), \(N^2v = (1,1,0)\). Dans la base \((w_1,w_2,w_3) = (N^2v, Nv, v)\), on a \(Gw_1 = w_1\), \(Gw_2 = w_2 + w_1\), \(Gw_3 = w_3 + w_2\). Avec \(P = \begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\), \(P^{-1}GP = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).

17 Reconstituer la forme de Jordan d’un nilpotent ★★★

Nombre de blocs de taille au moins \(k\) : \(k = 1\) : \(2\) ; \(k = 2\) : \(4 - 2 = 2\) ; \(k = 3\) : \(5 - 4 = 1\) ; \(k = 4\) : \(5 - 5 = 0\). Il y a donc \(2\) blocs, \(2\) de taille \(\geq 2\), \(1\) de taille \(\geq 3\) : les blocs sont de tailles \(3\) et \(2\), soit \(N \sim J_3(0) \oplus J_2(0)\) (\(3 + 2 = 5\)).

Le plus grand bloc est de taille \(3\), donc \(\mu_N = X^3\). Rangs : \(\mathrm{rg}\,N = 5 - 2 = 3\), \(\mathrm{rg}\,N^2 = 5 - 4 = 1\), \(\mathrm{rg}\,N^3 = 0\).

18 Dunford d’une matrice 3x3 ★★★

\(\chi_M = (X-2)^2(X+1)\). Les polynômes \((X-2)^2\) et \(X+1\) sont premiers entre eux : \((X-2)^2 - (X-5)(X+1) = X^2 - 4X + 4 - X^2 + 4X + 5 = 9\), donc \(\dfrac{1}{9}(X-2)^2 \cdot 1 - \dfrac{1}{9}(X-5)(X+1) = 1\) et le projecteur sur \(\ker(M+I)\) est \(\pi = \dfrac{1}{9}(M - 2I)^2\).

On calcule \(M - 2I = \begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&1&0\\-1&4&-3\end{pmatrix}\) puis \((M-2I)^2 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&-9&9\end{pmatrix}\), donc \(\pi = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\).

La partie diagonalisable est \(D = 2(I - \pi) + (-1)\pi = 2I - 3\pi = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&3&-1\end{pmatrix}\) et \(N = M - D = \begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}\), avec \(N^2 = 0\) et \(DN = ND\).

19 Réduction sur R et sur C ★★★

\(R^2 = \begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\), donc \(R^2 + R + I = \begin{pmatrix}-1+0+1&1-1+0\\-1+1+0&0-1+1\end{pmatrix} = 0\). Alors \(R^3 - I = (R - I)(R^2 + R + I) = 0\).

\(\chi_R = X^2 + X + 1\) (trace \(-1\), déterminant \(1\)) n’a pas de racine réelle : \(R\) n’est pas trigonalisable, donc pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\). Sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_R\) a deux racines distinctes \(j\) et \(j^2\) (racines cubiques non triviales de \(1\)) : \(R\) est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\).

Comme \(R^3 = I\) et \(2026 = 3\times 675 + 1\), \(R^{2026} = R = \begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\).

20 Classer les endomorphismes avec A³ = A² ★★★

\(X^3 - X^2 = X^2(X-1)\) annule \(A\), donc \(\mu_A\) divise \(X^2(X-1)\) : les valeurs propres sont dans \(\{0, 1\}\), et le bloc de \(0\) est de taille au plus \(2\). \(\mathrm{rg}\,A = 2\) donne \(\dim\ker A = 1\) : un seul bloc de valeur propre \(0\), de taille \(m_0 \in \{1,2\}\) (et \(m_0 \geq 1\) car \(A\) n’est pas inversible).

Si \(m_0 = 1\) : \(m_1 = 2\), et \(A - I\) annule la partie de valeur propre \(1\) (annulateur \(X(X-1)\) à racines simples sur ce bloc) : \(A \sim \mathrm{diag}(0,1,1)\). Si \(m_0 = 2\) : le bloc de \(0\) est \(J_2(0)\), et \(m_1 = 1\) : \(A \sim J_2(0) \oplus (1)\).

Les deux cas existent : \(\mathrm{diag}(0,1,1)\) est de rang \(2\) et vérifie \(A^3 = A^2\) ; pour \(J_2(0) \oplus (1)\), le carré de \(J_2(0)\) est nul, donc \(A^2 = 0 \oplus (1) = A^3\), et le rang vaut \(1 + 1 = 2\).