Combien d’octets dans une photo ? Combien de kilomètres jusqu’au Soleil ? Quelle est l’épaisseur d’un cheveu ? Ces nombres sont tantôt gigantesques, tantôt minuscules, et les écrire avec tous leurs chiffres serait pénible. Les puissances sont l’outil qui permet de les manier avec élégance : dans ce chapitre, tu vas apprendre à les calculer, à les simplifier et à les utiliser pour écrire de très grands ou de très petits nombres.
1. Définition d’une puissance entière
Soit \(a\) un nombre et \(n\) un entier positif non nul. La puissance \(a^n\) (lue « \(a\) puissance \(n\) ») est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) :
\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]
Le nombre \(n\) s’appelle l’exposant. On convient aussi que \(a^1 = a\) et que \(a^0 = 1\) (pour \(a\) non nul).
Le cas \(n = 2\) se lit « au carré », le cas \(n = 3\) « au cube ». Pour une grille de \(4\) lignes et \(4\) colonnes, le nombre de carreaux est \(4^2 = 4 \times 4 = 16\).
\(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\) et \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\).
Avec un nombre négatif, les parenthèses comptent. \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) et \((-3)^3 = -27\) : un exposant pair donne un résultat positif, un exposant impair un résultat négatif. Mais \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\) : ici l’exposant ne touche que le \(3\).
2. Les puissances de 10
Les puissances de \(10\) sont les plus utiles : \(10^n\) s’écrit avec un \(1\) suivi de \(n\) zéros.
| Puissance | \(10^1\) | \(10^2\) | \(10^3\) | \(10^6\) | \(10^9\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Écriture décimale | 10 | 100 | 1 000 | 1 000 000 | 1 000 000 000 |
| Nom usuel | dix | cent | mille | million | milliard |
Chaque fois que l’exposant augmente de \(1\), le nombre est multiplié par \(10\). Cette idée permet de prolonger la série vers la gauche.
3. Exposant négatif
Pour \(a\) non nul et \(n\) entier positif, \(a^{-n}\) est l’inverse de \(a^n\) :
\[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]
Pour les puissances de \(10\), cela donne \(10^{-1} = 0{,}1\), \(10^{-2} = 0{,}01\), \(10^{-3} = 0{,}001\) : l’exposant négatif \(-n\) correspond à un \(1\) placé au \(n\)-ième rang après la virgule.
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) ; \(5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04\) ; \(10^{-4} = \dfrac{1}{10\,000} = 0{,}0001\).
Un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif ! Il dit seulement « prends l’inverse ». Sur ma planète, on dit que le signe moins file à l’étage du dessous.
4. Produit de puissances
Pour \(a\) non nul et \(m\), \(n\) entiers : \[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]
On a aussi \((a \times b)^n = a^n \times b^n\).
La raison est simple : \(a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a) = a^5\). On compte les facteurs en tout, donc on additionne les exposants.
\(3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729\) ; \(10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3\) ; \(2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3\).
On n’additionne les exposants que si le nombre de base est le même. \(2^3 \times 3^2\) ne se simplifie pas en une seule puissance. Et \(2^3 + 2^4\) n’est pas \(2^7\) : une somme ne se transforme pas ainsi (\(8 + 16 = 24\), alors que \(2^7 = 128\)).
5. Quotient de puissances
Pour \(a\) non nul : \[ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
Ici, on soustrait les exposants : le numérateur contient \(m\) facteurs, on en simplifie \(n\), il en reste \(m - n\). Si \(n\) est plus grand que \(m\), l’exposant devient négatif, et c’est cohérent avec la définition précédente.
\(\dfrac{7^9}{7^6} = 7^{9-6} = 7^3 = 343\) ; \(\dfrac{10^{-2}}{10^4} = 10^{-2-4} = 10^{-6}\) ; \(\dfrac{3^2}{3^5} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}\).
La figure montre la croissance rapide des puissances de \(2\) : quand l’exposant passe de \(5\) à \(6\), le résultat passe de \(32\) à \(64\). C’est ce qui rend les puissances si pratiques pour décrire une croissance explosive.
6. Puissance d’une puissance
\[ (a^m)^n = a^{m \times n} \]
Par exemple, \((a^3)^2 = a^3 \times a^3 = a^{3+3} = a^6\) : on multiplie les exposants.
\((2^3)^2 = 2^6 = 64\) ; \((10^{-2})^3 = 10^{-6}\) ; \((5^2)^{-1} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}\).
- Traite d’abord les puissances de puissances en multipliant les exposants.
- Regroupe les produits d’un même nombre en additionnant les exposants.
- Termine par les quotients en soustrayant les exposants.
- Calcule la valeur si on te la demande.
Simplifier \(A = \dfrac{(10^3)^2 \times 10^{-4}}{10^5}\).
\(A = \dfrac{10^6 \times 10^{-4}}{10^5} = \dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0{,}001\).
7. La notation scientifique
L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est de la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule (\(1 \le a < 10\)) et \(n\) un entier relatif.
- Place la virgule après le premier chiffre non nul pour obtenir \(a\).
- Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule : c’est la valeur absolue de \(n\).
- Si le nombre de départ était grand (\(\ge 10\)), \(n\) est positif ; s’il était petit (\(< 1\)), \(n\) est négatif.
\(45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^7\) (virgule déplacée de \(7\) rangs vers la gauche).
\(0{,}00032 = 3{,}2 \times 10^{-4}\) (virgule déplacée de \(4\) rangs vers la droite).
\(26 \times 10^5\) n’est pas scientifique, car \(26 \ge 10\) : \(26 \times 10^5 = 2{,}6 \times 10^6\).
La notation scientifique rend aussi les calculs faciles : on multiplie les décimaux entre eux et les puissances de \(10\) entre elles. Par exemple, \((3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = 6 \times 10^9\).
8. Ordres de grandeur
Un ordre de grandeur est une puissance de \(10\) proche du nombre : il dit « combien de chiffres » environ, sans les détails. Pour le trouver, on écrit le nombre en notation scientifique \(a \times 10^n\) puis on arrondit \(a\) à \(1\) (si \(a < 5\)) ou à \(10\) (si \(a \ge 5\)).
La Terre est à \(1{,}5 \times 10^8\) km du Soleil : \(1{,}5 < 5\), donc l’ordre de grandeur est \(10^8\) km. Un cheveu a une épaisseur de \(7 \times 10^{-5}\) m : \(7 \ge 5\), donc l’ordre de grandeur est \(10 \times 10^{-5} = 10^{-4}\) m.
Sur cette droite graduée des exposants, chaque petit trait correspond à un facteur \(10\) de plus que le précédent : du virus (environ \(10^{-7}\) m) à la distance Terre-Soleil (environ \(10^{11}\) m), il y a un facteur \(10^{18}\) !
Estimer \(2\,980 \times 0{,}0041\). On remplace par \(3 \times 10^3\) et \(4 \times 10^{-3}\) : le produit vaut environ \(12 \times 10^0 = 12\). (La valeur exacte est \(12{,}218\).)
À retenir
- \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs \(a\) ; \(a^0 = 1\) ; \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
- Produit : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) (on additionne les exposants).
- Quotient : \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (on soustrait les exposants).
- Puissance d’une puissance : \((a^m)^n = a^{m \times n}\) (on multiplie les exposants).
- Avec un exposant pair, le résultat est positif ; avec un exposant impair, il garde le signe de la base.
- Notation scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \le a < 10\) ; l’ordre de grandeur s’en déduit.
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