Un espace métrique, c’est un ensemble muni d’une façon de mesurer des distances. Cette seule donnée suffit à définir la proximité, la limite, la continuité, et à dégager quatre propriétés structurantes : compacité, connexité, complétude, fermeture. Ce chapitre rassemble le vocabulaire et les théorèmes qui servent ensuite en analyse fonctionnelle, en calcul différentiel et en théorie de la mesure.
1. Distances et normes
Une distance sur un ensemble \(E\) est une application \(d : E\times E\to[0,+\infty[\) telle que pour tous \(x,y,z\in E\) : \(d(x,y)=0\iff x=y\) (séparation), \(d(x,y)=d(y,x)\) (symétrie), \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\) (inégalité triangulaire). Le couple \((E,d)\) est un espace métrique.
La boule ouverte de centre \(a\) et de rayon \(r\gt 0\) est \(B(a,r)=\{x\in E : d(a,x)\lt r\}\) ; la boule fermée utilise \(\leq\). Une partie est bornée si elle est contenue dans une boule.
Sur un espace vectoriel réel \(E\), une norme vérifie \(\|x\|=0\iff x=0\), \(\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|\) et \(\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\). Alors \(d(x,y)=\|x-y\|\) est une distance.
Sur \(\mathbb{R}^n\), on dispose de \(\|x\|_1=\sum|x_i|\), \(\|x\|_2=\sqrt{\sum x_i^2}\) et \(\|x\|_\infty=\max|x_i|\), reliées par \(\|x\|_\infty\leq\|x\|_2\leq\|x\|_1\leq n\|x\|_\infty\).
Sur \(\mathbb{R}\), posons \(d(x,y)=|x^3-y^3|\). La symétrie est claire. Si \(d(x,y)=0\), alors \(x^3=y^3\), donc \(x=y\) car \(t\mapsto t^3\) est injective. Enfin \(|x^3-z^3|\leq|x^3-y^3|+|y^3-z^3|\) par l’inégalité triangulaire dans \(\mathbb{R}\). C’est donc une distance. En revanche \(|x^2-y^2|\) n’en est pas une sur \(\mathbb{R}\) : \(d(-1,1)=0\) avec \(-1\neq 1\).
La boule unité de \(\|\cdot\|_\infty\) est un carré, celle de \(\|\cdot\|_1\) un losange : ne dessine pas toujours un disque.
2. Ouverts et fermés
Une partie \(U\) de \(E\) est ouverte si pour tout \(x\in U\) il existe \(r\gt 0\) avec \(B(x,r)\subset U\). Une partie est fermée si son complémentaire est ouvert.
Toute réunion d’ouverts est ouverte ; toute intersection finie d’ouverts est ouverte ; \(\varnothing\) et \(E\) sont ouverts. Par passage au complémentaire : toute intersection de fermés est fermée, toute réunion finie de fermés est fermée. Une boule ouverte est ouverte, une boule fermée est fermée.
Une intersection infinie d’ouverts n’est pas toujours ouverte : \(\bigcap_{n\geq1}\left]-\tfrac1n,\tfrac1n\right[=\{0\}\). « Pas ouvert » ne veut pas dire « fermé » : \(]0,1]\) n’est ni l’un ni l’autre dans \(\mathbb{R}\).
3. Adhérence et intérieur
Pour \(A\subset E\) : l’adhérence \(\overline{A}\) est le plus petit fermé contenant \(A\) ; l’intérieur \(\mathring{A}\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A\) ; la frontière est \(\partial A=\overline{A}\setminus\mathring{A}\).
\(x\in\overline{A}\iff\) toute boule \(B(x,r)\) rencontre \(A\) \(\iff\) \(x\) est limite d’une suite d’éléments de \(A\). De même \(x\in\mathring{A}\iff\) une boule \(B(x,r)\) est contenue dans \(A\). Enfin \(A\) est dense si \(\overline{A}=E\).
Soit \(A=]1,3[\,\cup\{5\}\) dans \(\mathbb{R}\). Tout point de \(]1,3[\) a une boule autour de lui dans \(A\), mais \(5\) n’en a pas : \(\mathring{A}=]1,3[\). Les points \(1\) et \(3\) sont limites de suites de \(A\) (par exemple \(1+\tfrac1n\)), donc \(\overline{A}=[1,3]\cup\{5\}\) et \(\partial A=\{1,3,5\}\). Enfin \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\) et \(\mathring{\mathbb{Q}}=\varnothing\).
4. Suites et convergence
Une suite \((x_n)\) de \(E\) converge vers \(\ell\) si \(d(x_n,\ell)\to0\) : pour tout \(\varepsilon\gt0\), il existe \(N\) tel que \(n\geq N\Rightarrow d(x_n,\ell)\lt\varepsilon\). La limite, si elle existe, est unique (deux boules disjointes séparent deux points distincts). Dans \(\mathbb{R}^n\), une suite converge si et seulement si chaque coordonnée converge.
\(F\) est fermé si et seulement si toute suite d’éléments de \(F\) qui converge dans \(E\) a sa limite dans \(F\). Une valeur d’adhérence est la limite d’une suite extraite convergente.
5. Continuité
Une application \(f:(E,d)\to(F,\delta)\) est continue en \(a\) si \(\forall\varepsilon\gt0\ \exists\eta\gt0\ :\ d(x,a)\lt\eta\Rightarrow\delta(f(x),f(a))\lt\varepsilon\).
\(f\) est continue sur \(E\) \(\iff\) l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert \(\iff\) l’image réciproque de tout fermé est un fermé \(\iff\) \(x_n\to x\) entraîne \(f(x_n)\to f(x)\).
Une application \(k\)-lipschitzienne (\(\delta(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)\)) est continue. Ainsi \(x\mapsto|x|\) et \(x\mapsto d(x,A)\) sont 1-lipschitziennes. Cette formulation par préimages fournit des ouverts et des fermés à bon compte : \(\{(x,y) : x^2+y^2\lt1\}\) est ouvert comme préimage de \(]-\infty,1[\) par une application continue.
6. Compacité
Une partie \(K\) est compacte si de tout recouvrement de \(K\) par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini. Dans un espace métrique, c’est équivalent à : toute suite de \(K\) possède une sous-suite qui converge dans \(K\) (Bolzano-Weierstrass).
Un compact est fermé et borné. Dans \(\mathbb{R}^n\) (de dimension finie), la réciproque est vraie : les compacts sont les fermés bornés. L’image d’un compact par une application continue est compacte : une fonction continue sur un compact à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes. Elle y est aussi uniformément continue (théorème de Heine).
Pour \(n\geq2\), posons \(U_n=\left]\tfrac1n,2\right[\). Ces ouverts recouvrent \(]0,1]\). Une sous-famille finie a pour réunion \(\left]\tfrac1N,2\right[\), où \(N\) est le plus grand indice retenu ; elle ne contient pas \(\tfrac1{N+1}\in\,]0,1]\). Donc \(]0,1]\) n’est pas compact, ce qu’on savait : il n’est pas fermé.
7. Connexité
Une partie \(A\) est connexe si elle ne peut pas s’écrire comme réunion de deux parties disjointes non vides, ouvertes dans \(A\). Elle est connexe par arcs si deux points quelconques sont reliés par une application continue \(\gamma:[0,1]\to A\).
Les connexes de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles. L’image d’un connexe par une application continue est connexe : c’est le théorème des valeurs intermédiaires. Tout connexe par arcs est connexe ; la réciproque est fausse.
Le graphe de \(\sin(1/x)\) pour \(x\in]0,1]\), complété par le segment \(\{0\}\times[-1,1]\), est connexe mais non connexe par arcs : c’est l’exemple classique.
Zyro, l’explorateur extraterrestre, te souffle : pour montrer que deux espaces ne sont pas homéomorphes, retire un point à chacun et regarde si le reste est encore connexe.
8. Complétude
Une suite \((x_n)\) est de Cauchy si \(\forall\varepsilon\gt0\ \exists N\ :\ m,n\geq N\Rightarrow d(x_m,x_n)\lt\varepsilon\). L’espace est complet si toute suite de Cauchy converge.
Toute suite convergente est de Cauchy ; une suite de Cauchy est bornée, et converge dès qu’elle admet une valeur d’adhérence. \(\mathbb{R}^n\) est complet ; une partie fermée d’un espace complet est complète ; \(\mathbb{Q}\) et \(]0,1]\) ne le sont pas.
Soit \((E,d)\) complet non vide et \(f:E\to E\) contractante : \(d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)\) avec \(0\leq k\lt1\). Alors \(f\) a un unique point fixe \(\ell\). Pour tout \(x_0\), la suite \(x_{n+1}=f(x_n)\) converge vers \(\ell\), avec \(d(x_n,\ell)\leq\dfrac{k^n}{1-k}\,d(x_1,x_0)\).
La fonction \(f=\cos\) envoie \([0,1]\) dans \([\cos 1,1]\subset[0,1]\), et \(|f'|=|\sin|\leq\sin 1\approx0{,}8415\lt1\) sur cet intervalle. Comme \([0,1]\) est fermé dans \(\mathbb{R}\), il est complet : \(\cos x=x\) a une unique solution \(\ell\approx0{,}7391\), limite de \(x_{n+1}=\cos x_n\).
- Trouver un espace complet \(E\) (souvent un fermé de \(\mathbb{R}^n\)).
- Vérifier que \(f(E)\subset E\).
- Majorer \(d(f(x),f(y))\) par \(k\,d(x,y)\) avec \(k\lt1\).
- Conclure à l’existence, l’unicité et la convergence de l’itération.
À retenir
- Une distance se définit par séparation, symétrie et inégalité triangulaire ; une norme en fournit une.
- Les ouverts sont stables par réunion quelconque et intersection finie ; les fermés par l’inverse.
- \(x\in\overline{A}\) si et seulement si \(x\) est limite d’une suite de \(A\).
- Continuité : préimage d’ouvert ouverte, ou caractérisation par suites.
- Compact : fermé borné en dimension finie ; une fonction continue y atteint ses bornes.
- Connexes de \(\mathbb{R}\) : les intervalles ; l’image continue d’un connexe est connexe.
- Dans un complet, une contraction admet un unique point fixe.
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