Les nombres complexes et les polynômes forment un couple inséparable : les premiers donnent aux seconds toutes leurs racines, les seconds fournissent aux premiers leurs équations les plus naturelles. Dans ce chapitre, on passe de l’écriture algébrique à l’écriture trigonométrique pour résoudre \(z^n = a\), puis on développe l’arithmétique des polynômes (division, PGCD, irréductibles) et on termine par la décomposition des fractions rationnelles.
1. Forme trigonométrique
Soit \(z = a + ib\) un complexe non nul. Son module est \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Un argument de \(z\) est un réel \(\theta\) tel que \(a = |z|\cos\theta\) et \(b = |z|\sin\theta\) ; il est défini modulo \(2\pi\). On écrit alors \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}\) avec \(r = |z|\).
Soit \(z = 1 + i\sqrt{3}\). Alors \(|z| = \sqrt{1 + 3} = 2\), donc \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), ce qui donne \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
Ainsi \(z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}\).
Pour \(z = r e^{i\theta}\) et \(z' = r' e^{i\theta'}\) : \(zz' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')}\), \(\dfrac{z}{z'} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}\) et, pour tout entier \(n\), formule de Moivre : \(z^n = r^n e^{in\theta}\), c’est-à-dire \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\).
Un argument n’est jamais unique : \(\theta\) et \(\theta + 2\pi\) décrivent le même complexe. Quand on divise un argument par \(n\) (voir la partie suivante), cette ambiguïté crée \(n\) solutions différentes.
2. Racines n-ièmes
Soit \(a = \rho\,e^{i\varphi}\) un complexe non nul et \(n \geq 1\). L’équation \(z^n = a\) possède exactement \(n\) solutions, données par \[ z_k = \rho^{1/n}\,e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1. \] Elles sont régulièrement réparties sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\rho^{1/n}\).
Idée de la preuve. Si \(z = r e^{i\theta}\), alors \(z^n = r^n e^{in\theta}\). L’égalité avec \(\rho e^{i\varphi}\) impose \(r^n = \rho\) et \(n\theta = \varphi + 2k\pi\) avec \(k\) entier ; les valeurs \(k\) et \(k+n\) redonnent le même complexe, d’où exactement \(n\) racines.
On a \(8i = 8e^{i\pi/2}\), donc \(z_k = 2e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}\) :
\(z_0 = 2e^{i\pi/6} = \sqrt{3} + i\), \(\;z_1 = 2e^{i5\pi/6} = -\sqrt{3} + i\), \(\;z_2 = 2e^{i3\pi/2} = -2i\).
Vérification : \((-2i)^3 = -8i^3 = 8i\).
Pour \(a = 1\), les solutions de \(z^n = 1\) sont les racines n-ièmes de l’unité \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\). Elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, et leur somme vaut \(0\) dès que \(n \geq 2\).
3. Polynômes et division euclidienne
Un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) s’écrit \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_dX^d\) ; si \(a_d \neq 0\), \(d = \deg P\) est son degré. On convient que \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\).
Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes, \(B \neq 0\). Il existe un unique couple \((Q, R)\) de polynômes tel que \[ A = BQ + R \quad\text{avec}\quad \deg R < \deg B. \] \(Q\) est le quotient, \(R\) le reste. \(B\) divise \(A\) si et seulement si \(R = 0\).
- Divise le terme de plus haut degré du reste courant par celui de \(B\) : c’est le prochain terme du quotient.
- Multiplie ce terme par \(B\) et soustrais le résultat au reste courant.
- Recommence tant que le degré du reste est supérieur ou égal à \(\deg B\).
\(3X \times (X^2 + 2) = 3X^3 + 6X\) ; il reste \(-2X^2 - X - 1\). Puis \(-2 \times (X^2 + 2) = -2X^2 - 4\) ; il reste \(-X + 3\), de degré \(1 < 2\).
Donc \(3X^3 - 2X^2 + 5X - 1 = (X^2 + 2)(3X - 2) + (-X + 3)\).
4. Racines et multiplicité
Un scalaire \(a\) est racine de \(P\) (\(P(a) = 0\)) si et seulement si \(X - a\) divise \(P\). Un polynôme non nul de degré \(d\) a au plus \(d\) racines.
La racine \(a\) est de multiplicité \(m \geq 1\) si \((X - a)^m\) divise \(P\) mais pas \((X - a)^{m+1}\). Sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), cela équivaut à \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\) et \(P^{(m)}(a) \neq 0\).
Soit \(P = X^4 - 4X^3 + 3X^2 + 4X - 4\). On calcule \(P(2) = 16 - 32 + 12 + 8 - 4 = 0\), \(P' = 4X^3 - 12X^2 + 6X + 4\) donc \(P'(2) = 32 - 48 + 12 + 4 = 0\), puis \(P'' = 12X^2 - 24X + 6\) et \(P''(2) = 6 \neq 0\). La racine \(2\) est donc double, et \(P = (X - 2)^2(X^2 - 1)\).
Sur la courbe, une racine simple correspond à une traversée de l’axe, une racine double à un contact avec l’axe sans changement de signe.
5. PGCD de polynômes
Le PGCD de deux polynômes non nuls \(A\) et \(B\) est l’unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois \(A\) et \(B\). Si \(A = BQ + R\), alors \(\operatorname{PGCD}(A, B) = \operatorname{PGCD}(B, R)\) : c’est l’algorithme d’Euclide, dont le dernier reste non nul (rendu unitaire) est le PGCD.
Soient \(A = X^3 - 7X + 6\) et \(B = X^2 - X - 2\). On trouve \(A = B(X + 1) + (-4X + 8)\). Puis \(B = (X - 2)(X + 1)\), qui est divisible par \(-4X + 8 = -4(X - 2)\) : le reste suivant est nul.
Le dernier reste non nul est \(-4(X - 2)\), donc \(\operatorname{PGCD}(A, B) = X - 2\).
Le théorème de Bézout s’applique : il existe \(U, V\) tels que \(AU + BV = \operatorname{PGCD}(A, B)\), obtenus en remontant les divisions. Deux polynômes sont premiers entre eux si leur PGCD vaut \(1\).
6. Polynômes irréductibles
Un polynôme non constant est irréductible s’il n’est pas le produit de deux polynômes non constants.
Tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\). Par conséquent :
- sur \(\mathbb{C}\), les irréductibles sont les polynômes de degré \(1\) ;
- sur \(\mathbb{R}\), ce sont les polynômes de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) de discriminant strictement négatif.
La clé pour \(\mathbb{R}\) : si \(P\) est à coefficients réels et \(z\) racine non réelle, alors \(\bar{z}\) l’est aussi, avec la même multiplicité, et \((X - z)(X - \bar{z}) = X^2 - 2\operatorname{Re}(z)X + |z|^2\) est un facteur réel de degré 2.
7. Décomposition en facteurs
Tout polynôme non constant se décompose de façon unique, à l’ordre près, en produit d’une constante et de polynômes unitaires irréductibles.
Sur \(\mathbb{R}\) : \(X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)\). Sur \(\mathbb{C}\), on factorise encore \(X^2 + 1 = (X - i)(X + i)\) : \(X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X - i)(X + i)\), les quatre racines quatrièmes de l’unité.
De même \(X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)\) sur \(\mathbb{R}\) (le trinôme a pour discriminant \(-3\)), et sur \(\mathbb{C}\) : \((X - 1)(X - j)(X - j^2)\) avec \(j = e^{2i\pi/3}\).
8. Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un quotient \(F = \dfrac{P}{Q}\) de deux polynômes, \(Q \neq 0\). La division euclidienne de \(P\) par \(Q\) donne \(F = E + \dfrac{R}{Q}\) : \(E\) est la partie entière, et \(\deg R < \deg Q\).
Si \(Q\) a des racines simples \(a_1, \dots, a_n\) et si \(\deg P < \deg Q\), alors \(\dfrac{P}{Q} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\lambda_i}{X - a_i}\) avec \(\lambda_i = \dfrac{P(a_i)}{Q'(a_i)}\). Pour une racine \(a\) de multiplicité \(m\), on introduit \(\dfrac{c_1}{X - a} + \dots + \dfrac{c_m}{(X - a)^m}\).
Pour \(F = \dfrac{3X + 5}{(X - 1)(X + 2)}\) : \(\lambda_1 = \dfrac{3 + 5}{1 + 2} = \dfrac{8}{3}\) (valeur de \(\frac{3X+5}{X+2}\) en \(1\)) et \(\lambda_2 = \dfrac{-6 + 5}{-2 - 1} = \dfrac{1}{3}\).
Donc \(F = \dfrac{8}{3(X - 1)} + \dfrac{1}{3(X + 2)}\). Contrôle : \(\frac{8}{3}(X + 2) + \frac{1}{3}(X - 1) = 3X + 5\).
Pour vérifier une décomposition, remets tout au même dénominateur, ou teste une valeur simple comme \(X = 0\) : si les deux côtés diffèrent, l’erreur se trouve vite.
À retenir
- \(z = r e^{i\theta}\) avec \(r = |z|\) ; les modules se multiplient et les arguments s’additionnent ; \(z^n = r^n e^{in\theta}\).
- \(z^n = \rho e^{i\varphi}\) a exactement \(n\) racines \(\rho^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}\), sommets d’un polygone régulier.
- Division euclidienne : \(A = BQ + R\) avec \(\deg R < \deg B\), unique.
- \(a\) est racine de \(P\) \(\iff\) \((X - a) \mid P\) ; multiplicité \(m\) \(\iff\) \(P(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 \ne P^{(m)}(a)\).
- PGCD : algorithme d’Euclide, dernier reste non nul rendu unitaire.
- Irréductibles : degré 1 sur \(\mathbb{C}\) ; degré 1 ou degré 2 avec \(\Delta < 0\) sur \(\mathbb{R}\).
- Fractions rationnelles : partie entière + éléments simples.
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