Espaces Lp et espaces de Hilbert : cours de maths Licence L3

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Cours de maths en Licence L3 : Espaces Lp et espaces de Hilbert — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Dans ce chapitre, on mesure la « taille » d’une fonction ou d’une suite par une norme intégrale, et on découvre que, parmi tous ces espaces, un seul possède une géométrie euclidienne complète : l’espace \(L^2\). C’est lui qui permet de projeter, de décomposer en séries de Fourier et de représenter les formes linéaires. Le cadre est un espace mesuré \((X,\mathcal A,\mu)\) ; les deux cas concrets sont l’intervalle \([a,b]\) muni de la mesure de Lebesgue et l’ensemble \(\mathbb N\) muni de la mesure de comptage (espaces \(\ell^p\)).

Sommaire

1. Les normes \(\|\cdot\|_p\) et les espaces \(L^p\)

Définition (espace \(L^p\))

Pour \(1\le p\lt\infty\), on pose \(\|f\|_p=\Big(\displaystyle\int_X |f|^p\,d\mu\Big)^{1/p}\) et \(L^p(\mu)\) est l’ensemble des (classes de) fonctions mesurables telles que \(\|f\|_p\lt\infty\). Pour \(p=\infty\), \(\|f\|_\infty\) est le supremum essentiel de \(|f|\). Deux fonctions égales presque partout sont identifiées : sans cette convention, \(\|f\|_p=0\) n’entraînerait pas \(f=0\).

Dans le cas de la mesure de comptage, on obtient les espaces de suites \(\ell^p\), avec \(\|x\|_p=\big(\sum_n |x_n|^p\big)^{1/p}\). Dans \(\mathbb R^2\), la boule unité pour \(\|\cdot\|_p\) change de forme avec \(p\) : losange pour \(p=1\), disque pour \(p=2\), carré à la limite \(p=\infty\).

Attention : \(p\ge 1\) est indispensable

Pour \(p\lt 1\) la formule ci-dessus ne définit plus une norme : la boule unité n’est plus convexe (courbe en pointillés sur la figure) et l’inégalité triangulaire échoue.

2. Inégalités de Young, de Hölder et de Minkowski

Deux exposants \(p,q\in]1,\infty[\) sont dits conjugués si \(\dfrac1p+\dfrac1q=1\). Par exemple \(p=3\) a pour conjugué \(q=\tfrac32\), et \(p=2\) est son propre conjugué.

Inégalités fondamentales

Young. Pour \(a,b\ge 0\) : \(ab\le \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\).
Hölder. Si \(f\in L^p\) et \(g\in L^q\), alors \(fg\in L^1\) et \(\displaystyle\int |fg|\,d\mu\le \|f\|_p\,\|g\|_q\). Pour \(p=q=2\) c’est l’inégalité de Cauchy–Schwarz.
Minkowski. Pour \(p\ge 1\) : \(\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p\). Ainsi \(\|\cdot\|_p\) est bien une norme.

Idée de la preuve. L’inégalité de Young exprime que le rectangle de côtés \(a\) et \(b\) est recouvert par l’aire sous la courbe \(y=x^{p-1}\) (entre 0 et \(a\)) et l’aire à gauche de cette courbe (entre 0 et \(b\)) ; la figure ci-dessous l’illustre pour \(p=3\). Pour Hölder, on suppose \(\|f\|_p=\|g\|_q=1\), on applique Young à \(|f(x)|\) et \(|g(x)|\) puis on intègre : \(\int|fg|\le \frac1p+\frac1q=1\) ; le cas général s’obtient par homogénéité. Pour Minkowski, on écrit \(|f+g|^p\le |f|\,|f+g|^{p-1}+|g|\,|f+g|^{p-1}\), on applique Hölder à chaque terme avec \(|f+g|^{p-1}\in L^q\), puis on simplifie.

Exemple 1 : intégrabilité de \(x^{-1/3}\)

Soit \(f(x)=x^{-1/3}\) sur \(]0,1]\). Alors \(|f|^p=x^{-p/3}\) est intégrable en 0 si et seulement si \(\dfrac p3\lt 1\), c’est-à-dire \(p\lt 3\). Donc \(f\in L^2\) avec \(\|f\|_2^2=\displaystyle\int_0^1 x^{-2/3}dx=3\), soit \(\|f\|_2=\sqrt3\), mais \(f\notin L^3\). Sur \([1,+\infty[\) la situation s’inverse : \(f\in L^p\) si et seulement si \(p\gt 3\).

3. Complétude et inclusions

Théorème (Riesz–Fischer)

Pour \(1\le p\le\infty\), l’espace \(L^p(\mu)\) est complet : c’est un espace de Banach. De plus, une suite qui converge dans \(L^p\) possède une sous-suite qui converge presque partout vers la même limite.

Les inclusions dépendent de la mesure. Si \(\mu(X)\lt\infty\), alors \(L^q\subset L^p\) pour \(p\le q\), grâce à Hölder : \(\|f\|_p\le \mu(X)^{1/p-1/q}\|f\|_q\). Pour la mesure de comptage c’est l’inverse : \(\ell^p\subset\ell^q\) pour \(p\le q\), avec \(\|x\|_q\le\|x\|_p\). Dans les deux cas, aucune inclusion n’est une égalité : l’exemple 1 montre une fonction de \(L^2(]0,1])\) hors de \(L^3\).

4. Produit scalaire et espaces de Hilbert

Définition (espace de Hilbert)

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel \(H\) muni d’un produit scalaire \(\langle\cdot,\cdot\rangle\), qui induit la norme \(\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\). C’est un espace de Hilbert s’il est complet pour cette norme.

L’espace \(L^2(\mu)\) est un espace de Hilbert pour \(\langle f,g\rangle=\int f\bar g\,d\mu\), et \(\ell^2\) en est le modèle discret. On dispose de l’inégalité de Cauchy–Schwarz \(|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|\), du théorème de Pythagore (\(x\perp y\Rightarrow\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\)) et de l’identité du parallélogramme :
\[\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2.\]
Cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire : elle est fausse dans \(L^p\) dès que \(p\ne 2\). Ainsi \(L^2\) est le seul espace de Hilbert de la famille.

5. Projection orthogonale

Théorème de projection

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert \(H\). Pour tout \(x\in H\), il existe un unique \(p_F(x)\in F\) tel que \(\|x-p_F(x)\|=\operatorname{d}(x,F)\). Il est caractérisé par \(x-p_F(x)\in F^\perp\). On a alors \(H=F\oplus F^\perp\) et \(\|x\|^2=\|p_F(x)\|^2+\|x-p_F(x)\|^2\).

Méthode : projeter sur un sous-espace de dimension finie

Choisir une famille génératrice \((u_1,\dots,u_k)\) de \(F\) et écrire \(p_F(x)=\sum_j a_j u_j\).
Traduire \(x-p_F(x)\perp u_i\) pour tout \(i\) : on obtient le système \(\sum_j a_j\langle u_j,u_i\rangle=\langle x,u_i\rangle\).
Résoudre, puis calculer la distance par \(\operatorname{d}(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2\).

Exemple 2 : projeter \(t^2\) sur les polynômes de degré au plus 1

Dans \(L^2(]0,1[)\), cherchons \(p=a+bt\), projection de \(f(t)=t^2\) sur \(F=\operatorname{Vect}(1,t)\). Les conditions \(\langle f-p,1\rangle=0\) et \(\langle f-p,t\rangle=0\) donnent \(\tfrac13-a-\tfrac b2=0\) et \(\tfrac14-\tfrac a2-\tfrac b3=0\), d’où \(b=1\) et \(a=-\tfrac16\). Donc \(p_F(f)=t-\tfrac16\). La distance vérifie \(\operatorname{d}(f,F)^2=\displaystyle\int_0^1\big(t^2-t+\tfrac16\big)^2dt=\tfrac1{180}\).

6. Bases hilbertiennes

Définition (base hilbertienne)

Une famille orthonormée \((e_n)_{n\ge1}\) de \(H\) est une base hilbertienne si l’espace engendré par les \(e_n\) est dense dans \(H\). Alors tout \(x\in H\) s’écrit \(x=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n\) (convergence dans \(H\)).

Bessel et Parseval

Sur \(]0,1[\), la famille \(e_n(t)=\sqrt2\sin(n\pi t)\), \(n\ge1\), est une base hilbertienne de \(L^2(]0,1[)\) ; la figure montre les profils \(\sin(nx)\) sur \(]0,\pi[\), qui oscillent de plus en plus vite et sont deux à deux orthogonaux.

Exemple 3 : une somme de série par Parseval

Prenons \(f=1\) dans \(L^2(]0,1[)\). Alors \(\langle f,e_n\rangle=\sqrt2\displaystyle\int_0^1\sin(n\pi t)\,dt=\dfrac{\sqrt2\,(1-(-1)^n)}{n\pi}\), nul pour \(n\) pair et égal à \(\dfrac{2\sqrt2}{n\pi}\) pour \(n\) impair. Comme \(\|f\|^2=1\), Parseval donne \(\displaystyle\sum_{n\ \mathrm{impair}}\dfrac{8}{n^2\pi^2}=1\), soit \(\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac1{(2k+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}\).

7. Théorème de représentation de Riesz

Théorème de Riesz–Fréchet

Soit \(H\) un espace de Hilbert et \(\varphi:H\to\mathbb R\) une forme linéaire continue. Il existe un unique \(a\in H\) tel que \(\varphi(x)=\langle x,a\rangle\) pour tout \(x\), et \(\|\varphi\|=\|a\|\).

La preuve utilise la projection : si \(\varphi\ne0\), son noyau est un hyperplan fermé ; on prend \(u\) unitaire orthogonal à ce noyau et on pose \(a=\varphi(u)u\). Le même principe vaut pour les espaces \(L^p\) avec \(1\lt p\lt\infty\) : toute forme linéaire continue s’écrit \(\varphi(f)=\int fg\,d\mu\) avec \(g\in L^q\), \(q\) conjugué de \(p\), et \(\|\varphi\|=\|g\|_q\). On dit que le dual de \(L^p\) est \(L^q\).

Exemple 4 : norme d’une forme linéaire

Sur \(L^2(]0,1[)\), soit \(\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1 t\,f(t)\,dt\). Elle s’écrit \(\langle f,a\rangle\) avec \(a(t)=t\), donc \(\|\varphi\|=\|a\|_2=\Big(\displaystyle\int_0^1t^2dt\Big)^{1/2}=\dfrac1{\sqrt3}\). La borne est atteinte pour \(f=a/\|a\|_2=\sqrt3\,t\) : on vérifie \(\varphi(f)=\sqrt3/3\).

Le conseil de Zyro

Sur ma planète, on dit : « pour une norme, cherche d’abord l’égalité dans Cauchy–Schwarz ». La forme linéaire est maximale quand \(f\) est proportionnelle à \(a\) : c’est exactement la direction que le théorème de Riesz désigne.

À retenir

\(\|f\|_p=(\int|f|^p)^{1/p}\) est une norme si et seulement si \(p\ge1\) ; \(L^p\) est complet (Riesz–Fischer).
Hölder : \(\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q\) avec \(\frac1p+\frac1q=1\) ; Minkowski : l’inégalité triangulaire dans \(L^p\).
Mesure finie : \(L^q\subset L^p\) pour \(p\le q\) ; suites : \(\ell^p\subset\ell^q\) pour \(p\le q\).
Hilbert = préhilbertien complet ; \(L^2\) l’est, avec l’identité du parallélogramme.
Projection sur un fermé \(F\) : \(x-p_F(x)\in F^\perp\), et \(\|x\|^2=\|p_F(x)\|^2+\|x-p_F(x)\|^2\).
Base hilbertienne : \(x=\sum\langle x,e_n\rangle e_n\) et Parseval \(\|x\|^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2\).
Riesz : toute forme linéaire continue est \(\langle\cdot,a\rangle\), avec \(\|\varphi\|=\|a\|\).