Un ballon lancé en l’air monte, atteint son sommet, puis redescend : sa hauteur change au fil du temps. Les fonctions aussi « montent » et « descendent ». Dans ce chapitre, tu vas apprendre à décrire ces mouvements avec précision : où une fonction augmente, où elle diminue, quelle est sa plus grande et sa plus petite valeur, comment comparer deux images sans les calculer, et pour quelles valeurs de \(x\) elle est positive.
1. Lire une courbe de gauche à droite
On étudie souvent une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\), un morceau de la droite des nombres comme \([-2\,;\,4]\). Pour décrire sa courbe, on la parcourt de gauche à droite, c’est-à-dire quand \(x\) augmente, et on observe si elle monte ou si elle descend.
Cette courbe représente la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,4]\) par \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\). De \(A\) à \(S\), elle monte ; de \(S\) à \(B\), elle descend. Le sommet \(S(1\,;\,4)\) est l’endroit où le sens de variation change.
2. Fonction croissante, fonction décroissante
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a < b\) entraîne \(f(a) \leqslant f(b)\) : elle conserve l’ordre.
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a < b\) entraîne \(f(a) \geqslant f(b)\) : elle inverse l’ordre.
- \(f\) est constante sur \(I\) si \(f(a) = f(b)\) pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\).
Si les inégalités sont strictes (\(f(a) < f(b)\) ou \(f(a) > f(b)\)), on dit que la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante. Dire qu’une fonction « monte » ne suffit pas : il faut toujours préciser sur quel intervalle.
Pour la fonction \(f\) de la partie 1, la courbe monte de \(x = -2\) à \(x = 1\) puis descend de \(x = 1\) à \(x = 4\). Donc \(f\) est croissante sur \([-2\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,4]\).
Une fonction n’est pas « croissante » ou « décroissante » tout court : la fonction \(f\) ci-dessus est les deux, mais sur des intervalles différents. Écris toujours « croissante sur … ».
3. Le tableau de variations
Un tableau de variations résume le comportement d’une fonction. La première ligne donne les valeurs de \(x\) où le sens change (et les bornes de l’intervalle), la seconde ligne donne les images correspondantes, reliées par des flèches : \(\nearrow\) quand la fonction croît, \(\searrow\) quand elle décroît.
- Repère les bornes de l’intervalle et les points où la courbe change de sens.
- Écris ces valeurs de \(x\) sur la première ligne, de gauche à droite.
- Calcule ou lis l’image de chacune et place-la en haut si c’est un sommet, en bas si c’est un creux.
- Trace les flèches entre deux valeurs consécutives.
Ici, \(f(-2) = -(-2)^2 + 2 \times (-2) + 3 = -5\), \(f(1) = -1 + 2 + 3 = 4\) et \(f(4) = -16 + 8 + 3 = -5\).
4. Maximum et minimum
Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(a\) un réel de \(I\).
- \(f\) admet un maximum \(M\) sur \(I\), atteint en \(a\), si \(f(a) = M\) et si \(f(x) \leqslant M\) pour tout \(x\) de \(I\).
- \(f\) admet un minimum \(m\) sur \(I\), atteint en \(a\), si \(f(a) = m\) et si \(f(x) \geqslant m\) pour tout \(x\) de \(I\).
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Le maximum est une valeur que l’on lit sur l’axe vertical ; la valeur de \(x\) où il est atteint se lit sur l’axe horizontal. Pour la fonction \(f\) de la partie 1, le maximum est \(4\), atteint en \(x = 1\), et le minimum est \(-5\), atteint en \(x = -2\) et en \(x = 4\).
Sur ma planète, on dit : « le maximum est une hauteur, pas une adresse ». Le maximum, c’est la valeur de \(f(x)\) ; l’adresse où on la trouve, c’est \(x\).
La fonction \(g(x) = x^3 - 3x\) est définie sur \([-2\,;\,2]\). On a \(g(-2) = -2\), \(g(-1) = 2\), \(g(1) = -2\) et \(g(2) = 2\). Elle est croissante sur \([-2\,;\,-1]\), décroissante sur \([-1\,;\,1]\), puis croissante sur \([1\,;\,2]\). Son maximum est \(2\), atteint en \(-1\) et en \(2\) ; son minimum est \(-2\), atteint en \(-2\) et en \(1\).
Tu vois qu’un extremum peut être atteint en plusieurs valeurs de \(x\).
5. Comparer des images sans les calculer
Quand on connaît les variations d’une fonction, on peut comparer deux images \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calculer la moindre valeur.
- Vérifie que \(a\) et \(b\) sont dans un même intervalle où \(f\) est croissante, ou où elle est décroissante.
- Compare \(a\) et \(b\).
- Conclus : si \(f\) est croissante, les images sont rangées dans le même ordre ; si elle est décroissante, dans l’ordre inverse.
Pour la fonction \(f\) de la partie 1 : \(-1{,}5\) et \(0{,}5\) sont dans \([-2\,;\,1]\) où \(f\) est croissante, et \(-1{,}5 < 0{,}5\), donc \(f(-1{,}5) < f(0{,}5)\). Ensuite, \(2\) et \(3{,}5\) sont dans \([1\,;\,4]\) où \(f\) est décroissante, et \(2 < 3{,}5\), donc \(f(2) > f(3{,}5)\).
Si \(a\) et \(b\) sont de part et d’autre d’un changement de sens, le tableau ne permet pas de conclure. Pour la fonction \(f\), les nombres \(-1{,}5\) et \(2\) sont de part et d’autre de \(1\) : \(f(-1{,}5)\) et \(f(2)\) ne se comparent pas avec le seul tableau.
6. Étudier le signe d’une fonction
Étudier le signe de \(f\) sur \(I\), c’est trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) > 0\), \(f(x) = 0\) ou \(f(x) < 0\). Les valeurs de \(x\) telles que \(f(x) = 0\) sont les zéros de \(f\). On résume le résultat dans un tableau de signes.
Graphiquement, \(f(x) > 0\) quand la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, et \(f(x) < 0\) quand elle est en dessous.
Pour \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\), les zéros sont \(-1\) et \(3\), car \(f(x) = -(x + 1)(x - 3)\).
Signe de \(p(x) = 2x - 6\) sur \(\mathbb{R}\). On résout \(2x - 6 = 0\), soit \(x = 3\). La fonction est affine de coefficient \(2 > 0\), donc elle est croissante : négative pour \(x < 3\), nulle en \(3\), positive pour \(x > 3\).
Attention à ne pas confondre : le signe dit si les images sont positives ou négatives, les variations disent si elles augmentent ou diminuent. Une fonction peut être positive et décroissante à la fois.
7. Les fonctions de référence
Trois fonctions simples servent de modèles. Leurs variations sont à connaître.
| Fonction | Variations |
|---|---|
| \(x \mapsto ax + b\) avec \(a > 0\) | croissante sur \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto ax + b\) avec \(a < 0\) | décroissante sur \(\mathbb{R}\) |
| carré \(x \mapsto x^2\) | décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), minimum \(0\) en \(0\) |
| inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) | décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) |
Soient \(0 \leqslant a < b\). Alors \(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\). Le facteur \(b - a\) est strictement positif et \(b + a\) l’est aussi (car \(b > 0\) et \(a \geqslant 0\)). Donc \(b^2 - a^2 > 0\), c’est-à-dire \(a^2 < b^2\) : le carré est strictement croissant sur \([0\,;\,+\infty[\).
L’inverse n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier : \(-2 < 3\) mais \(\dfrac{1}{-2} = -0{,}5\) est plus petit que \(\dfrac{1}{3}\). Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;\,0[\) et \(]0\,;\,+\infty[\), pris séparément.
Compare \((-3)^2\) et \((-2)^2\) sans calculatrice. Les nombres \(-3\) et \(-2\) sont dans \(]-\infty\,;\,0]\) où le carré est décroissant, et \(-3 < -2\), donc \((-3)^2 > (-2)^2\). On vérifie : \(9 > 4\).
À retenir
- Croissante : \(a < b\) entraîne \(f(a) \leqslant f(b)\). Décroissante : \(a < b\) entraîne \(f(a) \geqslant f(b)\). Toujours préciser l’intervalle.
- Le tableau de variations donne les bornes, les valeurs où le sens change, leurs images et les flèches.
- Le maximum et le minimum sont des valeurs de \(f(x)\) ; on précise aussi où ils sont atteints, et ils peuvent l’être plusieurs fois.
- Pour comparer deux images, il faut que les deux nombres soient dans un même intervalle de monotonie.
- Signe d’une fonction : courbe au-dessus de l’axe = positive, en dessous = négative, zéros = points sur l’axe.
- Affine selon le signe de \(a\), carré décroissant puis croissant, inverse décroissante sur chaque intervalle séparément.
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