En deuxième année, les probabilités quittent le cadre fini : on lance une pièce sans jamais s’arrêter, on compte des appels jusqu’à la première panne, on additionne une infinité de possibilités. Les séries remplacent les sommes finies, et il faut justifier chaque passage à la limite. Ce chapitre pose le cadre rigoureux (tribus, σ-additivité, continuité monotone), puis étudie les variables aléatoires discrètes, leurs lois usuelles, leurs moments, leur fonction génératrice et les inégalités qui conduisent à la loi faible des grands nombres.
1. Espaces probabilisés
Une tribu sur un ensemble \(\Omega\) est une famille \(\mathcal{A}\) de parties de \(\Omega\) qui contient \(\Omega\), qui est stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable. Une probabilité sur \((\Omega,\mathcal{A})\) est une application \(\mathbb{P}:\mathcal{A}\to[0,1]\) telle que \(\mathbb{P}(\Omega)=1\) et qui est σ-additive : pour toute suite \((A_n)\) d’événements deux à deux incompatibles,
\[ \mathbb{P}\Big(\bigcup_{n\ge 0}A_n\Big)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n). \]
Le triplet \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) s’appelle un espace probabilisé. Un système complet d’événements est une famille finie ou dénombrable \((A_i)\) d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est \(\Omega\). Pour tout événement \(B\), on a alors la formule des probabilités totales \(\mathbb{P}(B)=\sum_i \mathbb{P}(B\cap A_i)\), et si \(\mathbb{P}(A_i)>0\) pour tout \(i\), \(\mathbb{P}(B)=\sum_i \mathbb{P}(A_i)\,\mathbb{P}(B\mid A_i)\).
Sur \(\Omega=\mathbb{N}^*\), posons \(\mathbb{P}(\{n\})=\dfrac{1}{2^n}\). Comme \(\sum_{n\ge1}2^{-n}=1\), c’est bien une probabilité. L’événement « \(n\) est pair » est la réunion dénombrable des singletons \(\{2k\}\), donc sa probabilité vaut \(\sum_{k\ge1}4^{-k}=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13\). Celle de « \(n\) impair » vaut \(\dfrac23\).
Une conséquence immédiate de la σ-additivité : si \(A\subset B\) alors \(\mathbb{P}(A)\le\mathbb{P}(B)\), et pour une suite quelconque, \(\mathbb{P}(\bigcup A_n)\le\sum\mathbb{P}(A_n)\) (sous-additivité).
2. Continuité monotone
Si \((A_n)\) est une suite croissante d’événements (\(A_n\subset A_{n+1}\)), alors \(\mathbb{P}\big(\bigcup_n A_n\big)=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)\). Si \((A_n)\) est décroissante, alors \(\mathbb{P}\big(\bigcap_n A_n\big)=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)\).
Idée de la démonstration. Pour la suite croissante, posons \(B_0=A_0\) et \(B_n=A_n\setminus A_{n-1}\). Les \(B_n\) sont deux à deux incompatibles, \(A_n=B_0\cup\dots\cup B_n\) et \(\bigcup A_n=\bigcup B_n\). Par σ-additivité, \(\mathbb{P}(\bigcup A_n)=\sum_{k}\mathbb{P}(B_k)=\lim_n\sum_{k\le n}\mathbb{P}(B_k)=\lim_n\mathbb{P}(A_n)\). Le cas décroissant s’obtient en passant aux complémentaires.
On lance indéfiniment une pièce qui donne pile avec la probabilité \(\dfrac13\), les lancers étant indépendants. Soit \(A_n\) : « aucun pile lors des \(n\) premiers lancers ». La suite \((A_n)\) est décroissante et \(\mathbb{P}(A_n)=\left(\dfrac23\right)^n\to0\). L’événement « on n’obtient jamais pile » est \(\bigcap A_n\) : sa probabilité est nulle. Pile apparaît donc presque sûrement, bien que « jamais pile » ne soit pas impossible.
Un événement de probabilité nulle n’est pas forcément impossible, et un événement de probabilité 1 n’est pas forcément certain. On dit seulement « presque sûr » ou « négligeable ».
3. Variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire \(X\) sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) est dite discrète si l’ensemble \(X(\Omega)\) est fini ou dénombrable et si, pour tout \(x\in X(\Omega)\), \(\{X=x\}\in\mathcal{A}\). Sa loi est la famille \((\mathbb{P}(X=x))_{x\in X(\Omega)}\) ; la somme de cette famille vaut 1, puisque les \(\{X=x\}\) forment un système complet d’événements.
La fonction de répartition \(F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)\) est croissante, continue à droite, de limite 0 en \(-\infty\) et 1 en \(+\infty\). Si \(\varphi\) est une fonction définie sur \(X(\Omega)\), \(Y=\varphi(X)\) est encore une variable discrète et \(\mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x:\varphi(x)=y}\mathbb{P}(X=x)\).
Posons \(\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) pour \(k\ge1\). La somme télescopique vaut 1, donc c’est une loi. Pour \(n\ge1\), \(\mathbb{P}(X\ge n)=\sum_{k\ge n}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)=\dfrac1n\). Cette décroissance en \(1/n\) est lente, et nous verrons que \(X\) n’a pas d’espérance.
4. Lois usuelles
Cinq lois suffisent à modéliser l’essentiel des situations : uniforme (équiprobabilité), Bernoulli (un succès ou un échec), binomiale (nombre de succès en \(n\) épreuves indépendantes), géométrique (rang du premier succès) et Poisson (événements rares). On note \(q=1-p\).
| Loi | Valeurs | \(\mathbb{P}(X=k)\) | \(\mathbb{E}(X)\) | \(\mathrm{V}(X)\) |
|---|---|---|---|---|
| Uniforme \(\mathcal{U}(\{1,\dots,n\})\) | \(1\le k\le n\) | \(\dfrac1n\) | \(\dfrac{n+1}{2}\) | \(\dfrac{n^2-1}{12}\) |
| Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\) | \(0,1\) | \(p^k q^{1-k}\) | \(p\) | \(pq\) |
| Binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) | \(0\le k\le n\) | \(\dbinom nk p^k q^{n-k}\) | \(np\) | \(npq\) |
| Géométrique \(\mathcal{G}(p)\) | \(k\ge1\) | \(p\,q^{k-1}\) | \(\dfrac1p\) | \(\dfrac{q}{p^2}\) |
| Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) | \(k\ge0\) | \(e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
Voici la loi binomiale \(\mathcal{B}(6,\tfrac13)\) : la barre la plus haute correspond au mode \(k=2\), voisin de l’espérance \(np=2\).
(a) Absence de mémoire. Si \(X\sim\mathcal{G}(p)\), alors \(\mathbb{P}(X>n)=q^n\) et \(\mathbb{P}(X>n+m\mid X>n)=\mathbb{P}(X>m)\). Réciproquement, c’est la seule loi sur \(\mathbb{N}^*\) qui possède cette propriété.
(b) Approximation de Poisson. Si \(np_n\to\lambda>0\), alors pour tout \(k\) fixé, \(\dbinom nk p_n^k(1-p_n)^{n-k}\to e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\).
- Décrire l’épreuve élémentaire et vérifier que les répétitions sont indépendantes avec la même probabilité de succès \(p\).
- Si l’on compte les succès sur un nombre fixé \(n\) d’épreuves : loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
- Si l’on attend le premier succès : loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\), à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\).
- Si l’on compte des événements rares sur une durée ou une surface, de moyenne \(\lambda\) : loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
Certains auteurs définissent la loi géométrique comme le nombre d’échecs avant le premier succès, à valeurs dans \(\mathbb{N}\). Ici, \(X\) est le rang du premier succès : l’espérance vaut \(1/p\) et non \(q/p\).
5. Espérance et variance
Une variable discrète réelle \(X\) admet une espérance si la famille \((x\,\mathbb{P}(X=x))_{x\in X(\Omega)}\) est sommable (la série converge absolument). On pose alors \(\mathbb{E}(X)=\sum_x x\,\mathbb{P}(X=x)\). Pour une variable positive, la somme existe toujours dans \([0,+\infty]\).
(1) Théorème de transfert : \(\mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_x\varphi(x)\,\mathbb{P}(X=x)\), à condition que cette famille soit sommable. (2) L’espérance est linéaire, positive et croissante sur l’ensemble des variables qui en admettent une. (3) Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{E}(X)=\sum_{n\ge1}\mathbb{P}(X\ge n)\).
Lorsque \(X^2\) admet une espérance, la variance est \(\mathrm{V}(X)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))^2\big)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2\) (formule de König-Huygens), et \(\mathrm{V}(aX+b)=a^2\mathrm{V}(X)\). L’écart type est \(\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}\).
Si \(X\sim\mathcal{G}(p)\), alors \(\mathbb{P}(X\ge n)=q^{n-1}\), donc \(\mathbb{E}(X)=\sum_{n\ge1}q^{n-1}=\dfrac1{1-q}=\dfrac1p\). Pour \(p=\dfrac14\) on obtient une espérance de 4 épreuves. Dans l’exemple 3, au contraire, \(\sum k\,\mathbb{P}(X=k)=\sum\dfrac1{k+1}\) diverge : \(X\) n’a pas d’espérance, bien que \(X\) soit finie presque sûrement.
6. Fonction génératrice
Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), sa fonction génératrice est \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{n\ge0}\mathbb{P}(X=n)\,t^n\). Le rayon de convergence de cette série entière est au moins 1, la série converge normalement sur \([-1,1]\), et \(G_X(1)=1\).
(1) \(G_X\) caractérise la loi : \(\mathbb{P}(X=n)=\dfrac{G_X^{(n)}(0)}{n!}\). (2) \(X\) a une espérance si et seulement si \(G_X\) est dérivable à gauche en 1, et alors \(\mathbb{E}(X)=G_X'(1)\). (3) \(X\) a une variance si et seulement si \(G_X\) est deux fois dérivable à gauche en 1 ; alors \(\mathbb{E}(X(X-1))=G_X''(1)\) et \(\mathrm{V}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2\). (4) Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(G_{X+Y}=G_XG_Y\).
| Loi | Fonction génératrice |
|---|---|
| \(\mathcal{B}(p)\) | \(q+pt\) |
| \(\mathcal{B}(n,p)\) | \((q+pt)^n\) |
| \(\mathcal{G}(p)\) | \(\dfrac{pt}{1-qt}\) pour \(|t|<1/q\) |
| \(\mathcal{P}(\lambda)\) | \(e^{\lambda(t-1)}\) |
La courbe ci-dessous représente \(G(t)=\dfrac{t}{3-2t}\), fonction génératrice de \(\mathcal{G}(\tfrac13)\) : elle est croissante, convexe, passe par \((1,1)\) avec une pente \(G'(1)=3\) égale à l’espérance.
Si \(X\sim\mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y\sim\mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, alors \(G_{X+Y}(t)=e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)}=e^{(\lambda+\mu)(t-1)}\). Cette fonction caractérise \(\mathcal{P}(\lambda+\mu)\) : la somme suit donc une loi de Poisson de paramètre \(\lambda+\mu\).
7. Inégalités de Markov, de Bienaymé-Tchebychev et loi faible des grands nombres
Si \(X\ge0\) admet une espérance, alors pour tout \(a>0\), \(\mathbb{P}(X\ge a)\le\dfrac{\mathbb{E}(X)}{a}\).
Preuve. On a \(a\,\mathbf{1}_{\{X\ge a\}}\le X\) ; en prenant l’espérance, \(a\,\mathbb{P}(X\ge a)\le\mathbb{E}(X)\).
Si \(X\) admet une variance, alors pour tout \(\varepsilon>0\), \(\mathbb{P}\big(|X-\mathbb{E}(X)|\ge\varepsilon\big)\le\dfrac{\mathrm{V}(X)}{\varepsilon^2}\).
Preuve. On applique Markov à la variable positive \((X-\mathbb{E}(X))^2\) avec \(a=\varepsilon^2\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables indépendantes, de même loi, d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). Notons \(M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}{n}\). Pour tout \(\varepsilon>0\), \(\mathbb{P}(|M_n-m|\ge\varepsilon)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\).
La preuve utilise \(\mathbb{E}(M_n)=m\) et \(\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}\), puis Bienaymé-Tchebychev. La moyenne empirique se concentre donc autour de l’espérance, à la vitesse \(1/n\) pour cette majoration.
Soit \(X\sim\mathcal{B}(100,\tfrac12)\) : \(\mathbb{E}(X)=50\) et \(\mathrm{V}(X)=25\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne \(\mathbb{P}(|X-50|\ge20)\le\dfrac{25}{400}=\dfrac1{16}\). Autrement dit, avec une probabilité au moins égale à \(\dfrac{15}{16}\), le nombre de piles reste dans la bande \(]30,70[\) représentée ci-dessous.
Avant de calculer une probabilité exacte, demande-toi si une majoration suffit : Markov ne demande que l’espérance, Tchebychev l’espérance et la variance. Ces bornes sont grossières mais valables pour toutes les lois.
8. Indépendance et couples
Un couple \((X,Y)\) de variables discrètes a pour loi conjointe la famille \(\mathbb{P}(X=x,Y=y)\). Les lois marginales s’en déduisent par sommation : \(\mathbb{P}(X=x)=\sum_y\mathbb{P}(X=x,Y=y)\), et de même pour \(Y\).
Les variables \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si, pour tous \(x,y\), \(\mathbb{P}(X=x,Y=y)=\mathbb{P}(X=x)\,\mathbb{P}(Y=y)\). Une famille \((X_i)\) est mutuellement indépendante si cette factorisation vaut pour toute sous-famille finie.
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes et intégrables, \(\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\). Plus généralement, la covariance \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\) vérifie \(\mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\). Pour des variables indépendantes, la covariance est nulle et les variances s’additionnent. La loi de la somme est la convolution : \(\mathbb{P}(X+Y=n)=\sum_{k=0}^{n}\mathbb{P}(X=k)\,\mathbb{P}(Y=n-k)\) pour des variables à valeurs dans \(\mathbb{N}\).
Une variable \(S\sim\mathcal{B}(n,p)\) est la somme de \(n\) variables de Bernoulli indépendantes de variance \(pq\). Donc \(\mathrm{V}(S)=npq\). Avec \(n=30\) et \(p=0{,}2\), \(\mathbb{E}(S)=6\) et \(\mathrm{V}(S)=30\times0{,}2\times0{,}8=4{,}8\).
La réciproque est fausse : covariance nulle n’entraîne pas indépendance. Si \(X\) est uniforme sur \(\{-1,0,1\}\) et \(Y=X^2\), alors \(\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X^3)=0=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\), mais \(\mathbb{P}(X=0,Y=1)=0\neq\dfrac13\times\dfrac23\).
À retenir
- Une probabilité est σ-additive ; elle est continue sur les suites monotones d’événements.
- La loi d’une variable discrète est une famille de réels positifs de somme 1 ; l’espérance exige la convergence absolue.
- Lois usuelles : \(\mathcal{B}(n,p)\) d’espérance \(np\), \(\mathcal{G}(p)\) d’espérance \(1/p\), \(\mathcal{P}(\lambda)\) d’espérance et de variance \(\lambda\).
- \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)\) caractérise la loi, \(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\), et \(G_{X+Y}=G_XG_Y\) pour des variables indépendantes.
- Markov : \(\mathbb{P}(X\ge a)\le\mathbb{E}(X)/a\) ; Bienaymé-Tchebychev : \(\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}X|\ge\varepsilon)\le\mathrm{V}(X)/\varepsilon^2\).
- Indépendance : \(\mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)\) ; covariance nulle ne signifie pas indépendance.
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