Groupes, anneaux et corps : contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Un groupe quotient cyclique / 4 pts

Soit \(G=\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\) et \(H=\langle6\rangle\).

1. Lister les éléments de \(H\) et donner son ordre.
2. Donner l’ordre de \(G/H\) et le groupe auquel il est isomorphe.
3. Déterminer l’ordre de la classe de 4 dans \(G/H\).
4. Lister les éléments de la classe \(4+H\).

2 Action de \(S_4\) sur les partitions en deux paires / 4 pts

Le groupe \(S_4\) agit sur l’ensemble \(X\) des trois partitions de \(\{1,2,3,4\}\) en deux paires : \(a=\{12|34\}\), \(b=\{13|24\}\), \(c=\{14|23\}\).

1. Montrer que l’orbite de \(a\) est \(X\) tout entier.
2. Quel est l’ordre du stabilisateur de \(a\) ?
3. Donner trois éléments non triviaux du stabilisateur de \(a\).

3 Groupes d’ordre 45 / 4 pts

Soit \(G\) un groupe d’ordre 45.

1. Montrer que \(G\) a un unique 5-sous-groupe de Sylow.
2. Montrer que \(G\) a un unique 3-sous-groupe de Sylow.
3. En déduire que \(G\) est abélien (on rappelle qu’un groupe d’ordre \(p^2\) est abélien).

4 Un quotient de \(\mathbb{Z}[i]\) / 4 pts

Soit \(I=(3+i)\) dans \(\mathbb{Z}[i]\) et \(\varphi(a+bi)=a-3b \bmod 10\), à valeurs dans \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\).

1. Montrer que \(10\in I\).
2. Vérifier que \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux (on admet qu’il est additif) et qu’il est surjectif.
3. Montrer que \(\ker\varphi=I\) et conclure sur \(\mathbb{Z}[i]/I\).
4. Ce quotient est-il un corps ?

5 Irréductibilité et corps / 4 pts

1. Montrer que \(P=X^3-9X+3\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).
2. Quel est le degré du corps \(K=\mathbb{Q}[X]/(P)\) sur \(\mathbb{Q}\) ? Donner une base.
3. Montrer que \(X^2+X+1\) est réductible dans \(\mathbb{F}_7[X]\) en donnant ses racines et sa factorisation.