Combien de grains de sable sur une plage, combien d’octets dans un téléphone, quelle distance jusqu’à une étoile ? Les nombres de la vraie vie sont parfois immenses, parfois minuscules. Pour les écrire sans se perdre dans les zéros, on utilise les puissances. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les calculer, à les simplifier, puis à les utiliser pour écrire et comparer les très grands et les très petits nombres.
1. Puissance d’exposant entier positif
Pour un nombre \(a\) et un entier \(n \geqslant 1\), on note \(a^n\) le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) :
\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]
On convient aussi que \(a^1 = a\) et que \(a^0 = 1\) pour \(a \neq 0\). Le nombre \(n\) s’appelle l’exposant.
Ce diagramme montre les puissances de \(2\) : quand l’exposant augmente de \(1\), la valeur est multipliée par \(2\). Par exemple \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\).
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) et \((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27\).
Règle des signes : une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair.
\((-4)^2 = 16\), mais \(-4^2 = -(4 \times 4) = -16\). Sans parenthèses, l’exposant ne s’applique qu’au \(4\).
2. Exposants négatifs
Pour \(a \neq 0\) et \(n\) entier positif, \(a^{-n}\) est l’inverse de \(a^n\) :
\[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]
Par exemple, \(2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}\) et \(5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\). Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il le transforme en inverse.
\(10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001\) ; \(3^{-2} = \dfrac{1}{9}\) ; \((-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}\).
3. Produit de puissances
Pour \(a \neq 0\) et \(m\), \(n\) entiers relatifs : \[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]
Avec des facteurs différents et le même exposant : \((a \times b)^n = a^n \times b^n\).
Pourquoi ? \(3^4 \times 3^2 = (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^6\) : on compte tous les facteurs.
\(5^4 \times 5^{-6} = 5^{4 + (-6)} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}\).
\(2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000\).
On additionne les exposants, on ne multiplie pas les bases : \(2^3 \times 2^4 = 2^7\) et non \(4^7\). Et \(2^3 + 2^4\) ne se simplifie pas en \(2^7\) : \(8 + 16 = 24\), alors que \(2^7 = 128\).
4. Quotient de puissances
Pour \(a \neq 0\) : \[ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad \text{et} \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \]
On soustrait les exposants : celui du numérateur moins celui du dénominateur. C’est la même règle que pour le produit, car diviser par \(a^n\) revient à multiplier par \(a^{-n}\).
\(\dfrac{7^8}{7^{10}} = 7^{8 - 10} = 7^{-2} = \dfrac{1}{49}\) et \(\dfrac{6^5}{6^5} = 6^0 = 1\).
5. Puissance d’une puissance
\[ (a^m)^n = a^{m \times n} \]
Par exemple \((2^3)^4 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 = 2^{12} = 4096\). Cette fois, on multiplie les exposants.
- Deux puissances qui se multiplient, même base : on additionne les exposants.
- Deux puissances qui se divisent, même base : on soustrait les exposants.
- Une puissance élevée à une puissance : on multiplie les exposants.
- Si les bases sont différentes, essaie de les ramener à la même base (par exemple \(4 = 2^2\)).
6. Puissances de 10
Les puissances de \(10\) sont les plus utiles : \(10^3 = 1000\), \(10^6 = 1\,000\,000\), mais aussi \(10^{-1} = 0{,}1\), \(10^{-2} = 0{,}01\), \(10^{-5} = 0{,}00001\).
\(10^n\) s’écrit \(1\) suivi de \(n\) zéros. \(10^{-n}\) s’écrit avec un \(1\) placé au \(n\)-ième rang après la virgule.
Multiplier par \(10^n\) déplace la virgule de \(n\) rangs vers la droite ; multiplier par \(10^{-n}\) la déplace de \(n\) rangs vers la gauche.
| Préfixe | nano | micro | milli | kilo | méga | giga | téra |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Puissance de 10 | \(10^{-9}\) | \(10^{-6}\) | \(10^{-3}\) | \(10^{3}\) | \(10^{6}\) | \(10^{9}\) | \(10^{12}\) |
Ces préfixes se retrouvent dans les unités : un gigaoctet vaut \(10^9\) octets, un millimètre vaut \(10^{-3}\) mètre.
Sur ma planète, on compte les zéros à l’envers : \(10^{-4}\) a quatre chiffres après la virgule, et le dernier est le seul \(1\). Si tu en vois cinq, c’est que tu as glissé d’un cran !
7. Notation scientifique
Écrire un nombre décimal strictement positif en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme \[ a \times 10^n \]
où \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leqslant a < 10\) et \(n\) est un entier relatif.
- Place la virgule après le premier chiffre non nul pour obtenir \(a\), avec \(1 \leqslant a < 10\).
- Compte de combien de rangs la virgule a bougé : c’est \(|n|\).
- \(n\) est positif si le nombre de départ est grand (au moins \(10\)), négatif s’il est inférieur à \(1\).
\(52\,000\,000 = 5{,}2 \times 10^7\) (la virgule recule de \(7\) rangs).
\(0{,}00036 = 3{,}6 \times 10^{-4}\) (la virgule avance de \(4\) rangs).
\((6 \times 10^4) \times (5 \times 10^{-2}) = (6 \times 5) \times (10^4 \times 10^{-2}) = 30 \times 10^2\). Mais \(30\) n’est pas compris entre \(1\) et \(10\) : on termine par \(30 \times 10^2 = 3 \times 10 \times 10^2 = 3 \times 10^3\).
\(45 \times 10^3\) et \(0{,}8 \times 10^5\) ne sont pas en notation scientifique, car \(45\) et \(0{,}8\) ne sont pas entre \(1\) et \(10\).
8. Ordres de grandeur
Pour se faire une idée rapide d’un nombre, on cherche son ordre de grandeur : la puissance de \(10\) la plus proche. Avec \(a \times 10^n\) en notation scientifique, on prend \(10^n\) si \(a < 5\) et \(10^{n+1}\) si \(a \geqslant 5\).
La Terre a un diamètre d’environ \(1{,}3 \times 10^7\) m : comme \(1{,}3 < 5\), son ordre de grandeur est \(10^7\) m. Un virus mesurant \(8 \times 10^{-8}\) m a pour ordre de grandeur \(10^{-7}\) m, car \(8 \geqslant 5\).
L’ordre de grandeur permet aussi de vérifier un résultat : \(398 \times 52\) vaut à peu près \(400 \times 50 = 20\,000\), et pas \(2\,000\) ni \(200\,000\).
À retenir
- \(a^n\) est un produit de \(n\) facteurs \(a\) ; \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
- Produit : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ; quotient : \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) ; puissance de puissance : \((a^m)^n = a^{mn}\).
- \((ab)^n = a^n b^n\) : même exposant, bases différentes.
- \(10^n\) est un \(1\) suivi de \(n\) zéros ; \(10^{-n}\) place le \(1\) au \(n\)-ième rang après la virgule.
- Notation scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a < 10\) et \(n\) entier relatif.
- L’ordre de grandeur est la puissance de \(10\) la plus proche : il sert à estimer et à contrôler un calcul.
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