Un ballon qui monte puis redescend, un coût de fabrication qui baisse puis remonte, une courbe qui se creuse ou qui s’arrondit : la dérivée raconte comment une fonction varie, et la dérivée seconde raconte comment elle se courbe. Dans ce chapitre, tu vas dériver des fonctions composées, étudier leurs variations, repérer leur convexité et leurs points d’inflexion, puis mettre tout cela au service de l’optimisation : trouver le plus grand ou le plus petit.
1. Dérivées usuelles et opérations
Voici les dérivées à connaître par cœur, avec leurs ensembles de validité.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | Valable pour |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 1\)) | \(n\,x^{n-1}\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(x \neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(x \gt 0\) |
| \(\mathrm{e}^{x}\) | \(\mathrm{e}^{x}\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(x \gt 0\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
Pour \(u\) et \(v\) dérivables et \(k\) réel : \((u+v)' = u' + v'\) ; \((ku)' = k\,u'\) ; \((uv)' = u'v + uv'\) ; \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) là où \(v \neq 0\).
2. Dérivée d’une composée
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et si \(f\) est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de \(u\), alors la fonction \(x \mapsto f(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ \big(f(u(x))\big)' = u'(x) \times f'\big(u(x)\big) \]
On en déduit les formules à utiliser tous les jours :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(n\) entier |
| \(\mathrm{e}^{u}\) | \(u'\,\mathrm{e}^{u}\) | |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \gt 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u \gt 0\) |
| \(\cos(ax+b)\) | \(-a\sin(ax+b)\) | |
| \(\sin(ax+b)\) | \(a\cos(ax+b)\) |
\(f(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4\). Ici \(u(x) = 3x^2 - 5x + 1\) et \(u'(x) = 6x - 5\). Donc \(f'(x) = 4\,(6x - 5)\,(3x^2 - 5x + 1)^3\).
\(g(x) = \mathrm{e}^{-2x^2 + x}\). Ici \(u'(x) = -4x + 1\), donc \(g'(x) = (-4x + 1)\,\mathrm{e}^{-2x^2 + x}\).
\(h(x) = \ln(x^2 + 4)\). Comme \(x^2 + 4 \gt 0\) pour tout réel \(x\), \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et \(h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}\).
On oublie très souvent le facteur \(u'\). La dérivée de \(\mathrm{e}^{3x}\) n’est pas \(\mathrm{e}^{3x}\), c’est \(3\,\mathrm{e}^{3x}\).
3. Étudier les variations d’une fonction
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\). Si \(f' \geqslant 0\) sur \(I\), \(f\) est croissante sur \(I\). Si \(f' \leqslant 0\) sur \(I\), \(f\) est décroissante sur \(I\). Si \(f' = 0\) sur \(I\), \(f\) est constante. Si \(f'\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(a\).
- Détermine l’ensemble de définition et calcule \(f'(x)\).
- Factorise \(f'(x)\) pour étudier son signe : un facteur comme \(\mathrm{e}^{u}\) est toujours strictement positif.
- Dresse le tableau de signes puis le tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et aux extremums.
Soit \(f(x) = (2x - 1)\,\mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\). Alors \(f'(x) = 2\mathrm{e}^{-x} - (2x - 1)\mathrm{e}^{-x} = (3 - 2x)\,\mathrm{e}^{-x}\). Comme \(\mathrm{e}^{-x} \gt 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(3 - 2x\), positif pour \(x \lt \dfrac{3}{2}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | − |
| Variations de \(f\) | ↗ | maximum \(2\mathrm{e}^{-3/2} \approx 0{,}45\) | ↘ |
4. Dérivée seconde et convexité
Une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est convexe sur \(I\) si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux de ses points). Elle est concave si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses cordes.
Sur la figure, la courbe de \(x \mapsto \dfrac{x^2}{2}\) passe sous la corde \([AB]\) : le point \(N(0\,;\,0)\) de la courbe est en dessous du point \(M(0\,;\,3)\) de la corde. La fonction est convexe : la courbe a la forme d’une « cuvette ».
Pour \(f\) deux fois dérivable sur \(I\), les propositions suivantes sont équivalentes : \(f\) est convexe sur \(I\) ; \(f'\) est croissante sur \(I\) ; \(f''(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\) de \(I\). De même, \(f\) est concave si et seulement si \(f'\) est décroissante, c’est-à-dire \(f'' \leqslant 0\).
\(g(x) = \mathrm{e}^{-2x} + 3x\). Alors \(g'(x) = -2\mathrm{e}^{-2x} + 3\) et \(g''(x) = 4\mathrm{e}^{-2x} \gt 0\). La fonction \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). À l’inverse, \(\ln\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\) car \(\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\).
5. Point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point de la courbe où celle-ci traverse sa tangente ; c’est là que la convexité change : la courbe passe de convexe à concave, ou l’inverse.
La courbe de \(f\) admet un point d’inflexion d’abscisse \(a\) si et seulement si \(f''\) s’annule en \(a\) en changeant de signe.
\(f(x) = x^3 - 3x^2\). Alors \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) et \(f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)\). La dérivée seconde est négative pour \(x \lt 1\) et positive pour \(x \gt 1\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;1]\), convexe sur \([1\,;+\infty[\), et le point \(I(1\,;\,-2)\) est un point d’inflexion. La tangente en \(I\) a pour équation \(y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -3(x - 1) - 2 = -3x + 1\).
\(f''(a) = 0\) ne suffit pas. Pour \(f(x) = x^4\), on a \(f''(0) = 0\) mais \(f''(x) = 12x^2 \geqslant 0\) partout : il n’y a pas de changement de signe, donc pas d’inflexion.
6. Tangente et position relative
Si \(f\) est convexe sur \(I\), sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous \(a\) et \(x\) de \(I\), \(f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)\). Si \(f\) est concave, l’inégalité est inversée et la courbe est au-dessous de ses tangentes.
La fonction exponentielle vérifie \(f'' = \mathrm{e}^{x} \gt 0\) : elle est convexe sur \(\mathbb{R}\). Sa tangente en \(a = 0\) a pour équation \(y = f'(0)\,x + f(0) = x + 1\). Donc, pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\). Par exemple, \(\mathrm{e}^{0{,}1} \geqslant 1{,}1\).
Pour retenir : une cuvette (convexe) est posée au-dessus de ses tangentes, comme un bol sur des baguettes, et une colline (concave) est sous elles.
7. Applications à l’optimisation
- Choisis la variable \(x\) et son intervalle de variation.
- Exprime la grandeur à optimiser sous forme d’une fonction \(f(x)\).
- Dérive, étudie le signe de \(f'\), dresse le tableau de variations.
- Conclus par une phrase avec la valeur de \(x\), l’extremum et l’unité.
On veut une boîte sans couvercle, à base carrée de côté \(x\) dm, de volume \(32\) dm³. La hauteur est \(h = \dfrac{32}{x^2}\) et la surface de carton est \(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}\) pour \(x \gt 0\).
On dérive : \(S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 128}{x^2}\), qui s’annule pour \(x^3 = 64\), soit \(x = 4\). \(S'\) est négative avant \(4\) et positive après : \(S\) admet un minimum en \(x = 4\), égal à \(S(4) = 16 + 32 = 48\). La boîte la plus économique a un côté de \(4\) dm, une hauteur de \(2\) dm et utilise \(48\) dm² de carton.
À retenir
- Dérivée d’une composée : \((f(u))' = u' \times f'(u)\) ; ne jamais oublier le facteur \(u'\).
- \(f' \geqslant 0\) donne \(f\) croissante, \(f' \leqslant 0\) donne \(f\) décroissante ; un extremum apparaît quand \(f'\) change de signe.
- \(f\) est convexe si et seulement si \(f'\) est croissante, soit \(f'' \geqslant 0\) ; concave si \(f'' \leqslant 0\).
- Un point d’inflexion correspond à une dérivée seconde qui s’annule en changeant de signe.
- Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes ; concave : courbe au-dessous.
- Optimisation : modéliser, dériver, tableau de variations, conclure avec l’unité.
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