Additionner une infinité de nombres n’a a priori aucun sens : c’est la notion de limite qui lui en donne un. Ce chapitre construit la théorie des séries numériques réelles : définition par les sommes partielles, critères pour les séries à termes positifs, comparaisons, règles de d’Alembert et de Cauchy, convergence absolue, séries alternées et produit de Cauchy.
1. Sommes partielles et convergence
Soit \((u_n)_{n\ge n_0}\) une suite réelle. La somme partielle d’ordre \(N\) est \(S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\). La série \(\sum u_n\) converge si la suite \((S_N)\) admet une limite finie \(S\), appelée somme et notée \(S=\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n\). Sinon elle diverge. Le reste d’ordre \(N\) est \(R_N=S-S_N=\sum_{n>N}u_n\).
La nature d’une série ne dépend pas de ses premiers termes, et les séries convergentes forment un espace vectoriel : si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, alors \(\sum(\lambda u_n+\mu v_n)\) converge et sa somme est \(\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\).
Si \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n\to0\). Preuve : \(u_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0\). Par contraposée, si \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\), la série diverge grossièrement.
La série harmonique \(\sum\frac1n\) diverge bien que \(\frac1n\to0\) : en effet \(S_{2N}-S_N=\sum_{n=N+1}^{2N}\frac1n\ge N\cdot\frac1{2N}=\frac12\), donc \((S_N)\) n’est pas de Cauchy.
Pour \(q\in\mathbb{R}\), la série \(\sum_{n\ge0}q^n\) converge si et seulement si \(|q|<1\), et alors \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\dfrac1{1-q}\). Preuve : pour \(q\ne1\), \(S_N=\dfrac{1-q^{N+1}}{1-q}\).
Pour \(n\ge1\), \(\dfrac1{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n+1}\right)\). Donc \(S_N=\dfrac12\left(1-\dfrac1{2N+1}\right)=\dfrac N{2N+1}\to\dfrac12\). La série converge et sa somme vaut \(\dfrac12\).
2. Séries à termes positifs
Si \(u_n\ge0\) pour tout \(n\), la suite \((S_N)\) est croissante. La série converge donc si et seulement si \((S_N)\) est majorée ; sinon \(S_N\to+\infty\).
Si \(0\le u_n\le v_n\) à partir d’un certain rang, alors : \(\sum v_n\) converge \(\Rightarrow\) \(\sum u_n\) converge ; \(\sum u_n\) diverge \(\Rightarrow\) \(\sum v_n\) diverge.
Pour \(n\ge1\), \(n!\ge2^{n-1}\), donc \(0<\frac1{n!}\le\frac1{2^{n-1}}\). Or \(\sum_{n\ge1}\frac1{2^{n-1}}\) est géométrique de raison \(\frac12\) et converge (somme \(2\)). Par comparaison, \(\sum\frac1{n!}\) converge, et \(S_N\le2\).
3. Comparaison et équivalents
Soient \(u_n\ge0\) et \(v_n>0\). Si \(u_n=O(v_n)\), la convergence de \(\sum v_n\) entraîne celle de \(\sum u_n\). Si \(u_n\sim v_n\), les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature. Preuve : \(\frac{u_n}{v_n}\to1\) donne \(\frac12v_n\le u_n\le2v_n\) à partir d’un rang, puis on applique la comparaison.
L’équivalence ne dit rien si le signe n’est pas constant. Avec \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) et \(v_n=u_n+\frac1n\), on a \(u_n\sim v_n\) (car \(\frac1n=o(\frac1{\sqrt n})\)), pourtant \(\sum u_n\) converge et \(\sum v_n\) diverge.
4. Séries de Riemann
La série \(\sum_{n\ge1}\frac1{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha>1\).
Pour \(\alpha\le0\), le terme ne tend pas vers \(0\). Pour \(\alpha>0\), la fonction \(f(x)=x^{-\alpha}\) est décroissante, donc \(\int_n^{n+1}f\le f(n)\le\int_{n-1}^{n}f\). En sommant, \(\int_1^{N+1}f\le\sum_{n=1}^Nf(n)\le f(1)+\int_1^Nf\) : la série et l’intégrale généralisée \(\int_1^{+\infty}x^{-\alpha}\,dx\) ont même nature, et cette dernière converge si et seulement si \(\alpha>1\).
| Série | Exposant | Nature |
|---|---|---|
| \(\sum\frac1n\) | \(\alpha=1\) | diverge |
| \(\sum\frac1{\sqrt n}\) | \(\alpha=\frac12\) | diverge |
| \(\sum\frac1{n^2}\) | \(\alpha=2\) | converge |
| \(\sum\frac1{n\sqrt n}\) | \(\alpha=\frac32\) | converge |
Soit \(u_n=\dfrac{n+3}{n^3+2n+1}\). Alors \(u_n\sim\dfrac n{n^3}=\dfrac1{n^2}\), série de Riemann convergente : \(\sum u_n\) converge. En revanche \(v_n=\dfrac{2n+1}{n^2-4}\) (pour \(n\ge3\)) vérifie \(v_n\sim\dfrac2n\) : \(\sum v_n\) diverge.
5. Règles de d’Alembert et de Cauchy
Soit \(u_n>0\) tel que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to\ell\in[0,+\infty]\). Si \(\ell<1\), la série converge ; si \(\ell>1\), elle diverge (grossièrement) ; si \(\ell=1\), on ne peut rien conclure.
Soit \(u_n\ge0\) tel que \(\sqrt[n]{u_n}\to\ell\). Mêmes conclusions : convergence si \(\ell<1\), divergence si \(\ell>1\), aucune conclusion si \(\ell=1\).
Idée de la preuve pour \(\ell<1\) : on choisit \(r\in]\ell,1[\) ; à partir d’un rang \(n_1\), \(u_{n+1}\le ru_n\), d’où \(u_n\le u_{n_1}r^{\,n-n_1}\), terme général d’une série géométrique convergente. Les termes de \(\sum\frac{5^n}{n!}\) illustrent le mécanisme : ils croissent tant que \(\frac5{n+1}>1\), puis s’effondrent.
Pour \(u_n=\dfrac{n!}{n^n}\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}}=\left(\dfrac n{n+1}\right)^n=\dfrac1{(1+1/n)^n}\to\dfrac1e<1\). La série converge. Pour \(v_n=\left(\dfrac{n}{3n+2}\right)^n\), \(\sqrt[n]{v_n}\to\dfrac13<1\) : elle converge aussi.
Pour \(\frac1n\) et \(\frac1{n^2}\), le rapport tend vers \(1\) ; pourtant la première série diverge et la seconde converge. Il faut alors un autre outil (équivalent, comparaison à une série de Riemann).
6. Convergence absolue
Une série \(\sum u_n\) à termes réels est absolument convergente si \(\sum|u_n|\) converge. Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.
Toute série absolument convergente converge, et \(\left|\sum u_n\right|\le\sum|u_n|\). Preuve : \(0\le u_n+|u_n|\le2|u_n|\), donc \(\sum(u_n+|u_n|)\) converge par comparaison, puis \(\sum u_n=\sum(u_n+|u_n|)-\sum|u_n|\).
Comme \(\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}\), la série \(\sum\frac{\sin n}{n^2}\) est absolument convergente, donc convergente.
7. Séries alternées
Si \((a_n)\) est une suite décroissante de réels positifs de limite \(0\), alors \(\sum(-1)^na_n\) converge. De plus, sa somme \(S\) est comprise entre deux sommes partielles consécutives, et \(|R_N|\le a_{N+1}\), le reste ayant le signe de son premier terme.
Preuve : les suites \((S_{2N})\) et \((S_{2N+1})\) sont respectivement décroissante et croissante, et \(S_{2N+1}-S_{2N}=-a_{2N+1}\to0\) : elles sont adjacentes.
La série \(\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt n}\) converge d’après le critère (\(\frac1{\sqrt n}\) décroît vers \(0\)), mais pas absolument (Riemann, \(\alpha=\frac12\)) : elle est semi-convergente. Pour la série harmonique alternée \(\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}n\), la somme vaut \(\ln2\approx0{,}693\) ; ses sommes partielles l’encadrent comme sur la figure.
Sans elle, le critère tombe en défaut : voir l’exercice sur \(\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}\), série divergente dont le terme général tend pourtant vers \(0\) en alternant.
- Le terme général tend-il vers \(0\) ? Sinon, divergence grossière.
- Signe constant ? Chercher un équivalent simple (Riemann, géométrique) ou comparer.
- Factorielles ou puissances \(n\)-ièmes ? Rapport de d’Alembert ou racine de Cauchy.
- Signe variable ? Tester la convergence absolue, sinon le critère des séries alternées.
8. Produit de Cauchy
Le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) est la série \(\sum c_n\) où \(c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\).
Si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) sont absolument convergentes, alors \(\sum c_n\) est absolument convergente et \(\sum_{n=0}^{+\infty}c_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\right)\).
Avec \(a_n=\left(\frac12\right)^n\) et \(b_n=\left(\frac13\right)^n\), \(c_n=\sum_{k=0}^n2^{-k}3^{-(n-k)}=6\left(2^{-(n+1)}-3^{-(n+1)}\right)\). Le théorème donne \(\sum c_n=2\times\frac32=3\). Avec la formule du binôme, on retrouve aussi \(\sum\frac{x^n}{n!}\cdot\sum\frac{y^n}{n!}=\sum\frac{(x+y)^n}{n!}\).
La seule convergence ne suffit pas : le produit de Cauchy de \(\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) par elle-même diverge (exercice 19).
À retenir
- \(\sum u_n\) converge si \((S_N)\) converge ; alors \(u_n\to0\) (réciproque fausse).
- Géométrique : \(\sum q^n\) converge ssi \(|q|<1\), de somme \(\frac1{1-q}\). Riemann : \(\sum\frac1{n^\alpha}\) converge ssi \(\alpha>1\).
- Termes positifs : somme bornée, comparaison, équivalents (même nature).
- d’Alembert et Cauchy : limite \(<1\) converge, \(>1\) diverge, \(=1\) ne dit rien.
- Convergence absolue \(\Rightarrow\) convergence ; critère des séries alternées avec \(|R_N|\le a_{N+1}\).
- Produit de Cauchy : somme égale au produit des sommes si les deux séries sont absolument convergentes.
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