Limites, continuité, convergence de suites de fonctions : toute l’analyse repose sur une seule idée, mesurer la proximité entre deux objets. Ce chapitre fixe le langage commun des distances et des normes, puis en déduit la topologie : ouverts, fermés, adhérence, compacité, complétude et connexité. Les résultats obtenus dans \(\mathbb{R}^n\) servent de guide, et les contre-exemples en dimension infinie montrent exactement où la dimension finie intervient.
1. Distances et normes
Une distance sur un ensemble \(E\) est une application \(d : E\times E\to\mathbb{R}_+\) telle que, pour tous \(x,y,z\in E\) : \(d(x,y)=0\iff x=y\) (séparation), \(d(x,y)=d(y,x)\) (symétrie), \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\) (inégalité triangulaire).
Une norme sur un espace vectoriel réel \(E\) est une application \(\|\cdot\| : E\to\mathbb{R}_+\) vérifiant \(\|x\|=0\iff x=0\), \(\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|\) et \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\). Elle définit la distance \(d(x,y)=\|x-y\|\).
Sur \(\mathbb{R}^n\), les trois normes usuelles sont \(\|x\|_1=\sum_i|x_i|\), \(\|x\|_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}\) et \(\|x\|_\infty=\max_i|x_i|\). Sur l’espace \(C([0,1])\) des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\), on dispose de \(\|f\|_\infty=\sup_{[0,1]}|f|\) et de \(\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|\,dt\).
Dans un espace normé, \(\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\le\|x-y\|\). En particulier, l’application \(x\mapsto\|x\|\) est 1-lipschitzienne.
Pour \(x=(3,-4,12)\in\mathbb{R}^3\) : \(\|x\|_1=3+4+12=19\), \(\|x\|_2=\sqrt{9+16+144}=13\), \(\|x\|_\infty=12\). On observe \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\), ce qui est général.
Toutes les distances ne proviennent pas d’une norme : la distance discrète (\(d(x,y)=1\) si \(x\ne y\), \(0\) sinon) est valable sur n’importe quel ensemble. Les figures ci-dessous montrent la forme des boules unité : un losange, un disque et un carré.
2. Boules, ouverts et fermés
La boule ouverte de centre \(a\) et de rayon \(r>0\) est \(B(a,r)=\{x : d(a,x)
Toute réunion d’ouverts est ouverte ; toute intersection finie d’ouverts est ouverte ; \(\emptyset\) et \(E\) sont ouverts. Dualement : toute intersection de fermés est fermée, toute réunion finie de fermés est fermée. Les boules ouvertes sont ouvertes, les boules fermées sont fermées.
« Non ouvert » ne signifie pas « fermé ». L’intervalle \([0,1[\) n’est ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb{R}\). De plus, une intersection infinie d’ouverts n’est pas ouverte en général : \(\bigcap_{n\ge1}\,]-\tfrac1n,\tfrac1n[\,=\{0\}\).
- Écrire la partie comme image réciproque d’un ouvert (ou d’un fermé) par une application continue, puis combiner réunions et intersections.
- Sinon, revenir à la définition : fixer un point, exhiber un rayon \(r>0\).
- Pour réfuter « fermé », chercher une suite de la partie dont la limite sort de la partie.
Soit \(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x+y<5\}\) avec la norme \(\|\cdot\|_2\). Pour \(a=(a_1,a_2)\in A\), posons \(r=\dfrac{5-a_1-a_2}{\sqrt2}>0\). Si \(\|x-a\|_2
3. Intérieur, adhérence, densité
Pour \(A\subset E\) : l’intérieur \(\mathring{A}\) est l’ensemble des points \(a\) tels qu’une boule \(B(a,r)\) soit contenue dans \(A\) ; l’adhérence \(\overline{A}\) est l’ensemble des points \(a\) tels que toute boule \(B(a,r)\) rencontre \(A\) ; la frontière est \(\overline{A}\setminus\mathring{A}\). La partie \(A\) est dense si \(\overline{A}=E\).
L’intérieur est le plus grand ouvert contenu dans \(A\), l’adhérence est le plus petit fermé contenant \(A\). En particulier, \(A\) est fermée si et seulement si \(A=\overline{A}\).
Dans \(\mathbb{R}\), soit \(A=[0,1[\,\cup\{2\}\). Alors \(\mathring{A}=\,]0,1[\), \(\overline{A}=[0,1]\cup\{2\}\) et la frontière est \(\{0,1,2\}\). Par ailleurs \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) : tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel.
Dans un espace normé, l’adhérence de \(B(a,r)\) est \(B_f(a,r)\). Dans un espace métrique quelconque c’est faux : pour la distance discrète, \(B(a,1)=\{a\}\) est fermée alors que \(B_f(a,1)=E\).
4. Suites et limites
Une suite \((u_n)\) d’éléments de \(E\) converge vers \(\ell\) si \(d(u_n,\ell)\to0\), c’est-à-dire : pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\) tel que \(n\ge N\Rightarrow d(u_n,\ell)<\varepsilon\). La limite, si elle existe, est unique.
Un point \(a\) est adhérent à \(A\) si et seulement s’il est limite d’une suite d’éléments de \(A\). Une partie \(A\) est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d’éléments de \(A\) appartient à \(A\).
Dans \(\mathbb{R}^n\), une suite converge si et seulement si chacune de ses coordonnées converge, quelle que soit la norme choisie parmi les trois ci-dessus (c’est une conséquence du paragraphe 7).
Dans \(C([0,1])\), soit \(f_n(t)=t^n\). On a \(\|f_n\|_1=\dfrac{1}{n+1}\to0\) : \((f_n)\) converge vers la fonction nulle pour \(\|\cdot\|_1\). Mais \(\|f_n\|_\infty=1\) pour tout \(n\) : elle ne converge pas vers \(0\) pour \(\|\cdot\|_\infty\).
5. Continuité et applications linéaires continues
Une application \(f : (E,d)\to(F,d')\) est continue en \(a\) si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que \(d(x,a)<\delta\Rightarrow d'(f(x),f(a))<\varepsilon\). De façon équivalente, \(u_n\to a\Rightarrow f(u_n)\to f(a)\). Elle est continue sur \(E\) si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) est un ouvert (resp. fermé).
Soit \(u : E\to F\) linéaire entre deux espaces normés. Il y a équivalence entre : \(u\) continue ; \(u\) continue en \(0\) ; \(u\) bornée sur la boule unité ; il existe \(C\ge0\) tel que \(\|u(x)\|\le C\|x\|\) pour tout \(x\). La plus petite constante \(C\) est la norme d’opérateur \(\|u\|=\sup_{\|x\|\le1}\|u(x)\|\).
Soit \(u : (\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\to\mathbb{R}\), \(u(x,y)=3x-4y\). Alors \(|u(x,y)|\le3|x|+4|y|\le7\|(x,y)\|_\infty\), avec égalité pour \((1,-1)\) : \(u(1,-1)=7\). Donc \(\|u\|=7\). Pour la norme \(\|\cdot\|_2\), Cauchy-Schwarz donne \(|u(x,y)|\le5\|(x,y)\|_2\) avec égalité pour \((3,-4)\) : on obtient \(\|u\|=5\).
En dimension infinie, une application linéaire n’est pas toujours continue. La dérivation \(D : (C^1([0,1]),\|\cdot\|_\infty)\to(C([0,1]),\|\cdot\|_\infty)\) vérifie \(\|D(t^n)\|_\infty=n\) alors que \(\|t^n\|_\infty=1\) : elle n’est pas bornée sur la boule unité.
6. Compacité
Une partie \(K\) d’un espace métrique est compacte si toute suite d’éléments de \(K\) possède une sous-suite qui converge vers un élément de \(K\).
Toute partie compacte est fermée et bornée. En dimension finie, la réciproque est vraie : les compacts de \(\mathbb{R}^n\) sont exactement les parties fermées bornées. L’image d’un compact par une application continue est compacte ; en particulier une fonction continue \(f : K\to\mathbb{R}\) est bornée et atteint ses bornes.
Soit \(f(x,y)=x+2y\) sur le disque fermé unité \(K\) de \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)\), compact car fermé borné. Par Cauchy-Schwarz, \(|f(x,y)|\le\sqrt5\,\|(x,y)\|_2\le\sqrt5\). Le point \(\left(\tfrac1{\sqrt5},\tfrac2{\sqrt5}\right)\) donne \(f=\sqrt5\) : le maximum vaut \(\sqrt5\) et le minimum \(-\sqrt5\).
En dimension infinie, fermé et borné ne suffit plus. Dans \((C([0,1]),\|\cdot\|_\infty)\), la suite \(f_n(t)=t^n\) reste dans la boule unité fermée. Pour \(n\) fixé et \(m\) grand, on a \(\|f_n-f_m\|_\infty\ge2^{-n/m}-\tfrac12\), qui tend vers \(\tfrac12\) quand \(m\to\infty\) ; aucune sous-suite n’est donc de Cauchy, et aucune ne converge. Le théorème de Riesz affirme que la boule unité fermée est compacte si et seulement si l’espace est de dimension finie.
7. Équivalence des normes en dimension finie
Deux normes \(N_1\) et \(N_2\) sur \(E\) sont équivalentes s’il existe \(a,b>0\) tels que \(a\,N_1\le N_2\le b\,N_1\). Elles définissent alors les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes suites convergentes, les mêmes compacts et les mêmes applications continues.
Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Idée de la preuve. Dans une base, on compare une norme \(N\) quelconque à \(\|\cdot\|_\infty\) : l’inégalité \(N(x)\le b\|x\|_\infty\) vient de l’inégalité triangulaire. Il reste à minorer \(N\) : la sphère unité de \(\|\cdot\|_\infty\) est fermée et bornée, donc compacte ; \(N\) y est continue, strictement positive, et atteint donc un minimum \(a>0\). Par homogénéité, \(N(x)\ge a\|x\|_\infty\) partout.
Sur \(\mathbb{R}^n\), on a explicitement :
| Inégalité | Valeur optimale de la constante |
|---|---|
| \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\) | constante \(1\), égalité pour \((1,0,\dots,0)\) |
| \(\|x\|_1\le n\,\|x\|_\infty\) | constante \(n\), égalité pour \((1,1,\dots,1)\) |
| \(\|x\|_1\le\sqrt n\,\|x\|_2\) | constante \(\sqrt n\), égalité pour \((1,1,\dots,1)\) |
| \(\|x\|_2\le\sqrt n\,\|x\|_\infty\) | constante \(\sqrt n\), égalité pour \((1,1,\dots,1)\) |
Conséquences : toute application linéaire définie sur un espace de dimension finie est continue ; tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé ; tout espace normé de dimension finie est complet (paragraphe suivant).
Pour \(x=(2,-2,1)\) : \(\|x\|_1=5\), \(\|x\|_2=3\), \(\|x\|_\infty=2\). On vérifie \(2\le3\le5\le3\times2=6\) et \(5\le\sqrt3\times3\approx5{,}196\). Aucune des inégalités n’est une égalité ici : les constantes ne sont atteintes que pour des vecteurs très particuliers.
Sur la planète Zyro, on ne mesure jamais deux fois la même chose avec la même règle ! En dimension finie, changer de règle (de norme) change les nombres, mais jamais les notions de proche ou de limite. En dimension infinie, attention : le choix de la règle compte vraiment.
8. Complétude
Une suite \((u_n)\) est de Cauchy si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\) tel que \(m,n\ge N\Rightarrow d(u_m,u_n)<\varepsilon\). Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy y converge. Un espace normé complet est appelé espace de Banach.
Toute suite convergente est de Cauchy ; toute suite de Cauchy est bornée ; une suite de Cauchy qui possède une sous-suite convergente converge. \(\mathbb{R}^n\) est complet pour n’importe quelle norme ; une partie fermée d’un espace complet est complète ; \((C([0,1]),\|\cdot\|_\infty)\) est complet, tandis que \((C([0,1]),\|\cdot\|_1)\) ne l’est pas.
L’ensemble \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet : la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac2{u_n}\right)\) est une suite de rationnels de Cauchy (ses premiers termes sont \(1\), \(\tfrac32\), \(\tfrac{17}{12}\), \(\tfrac{577}{408}\)), mais sa limite \(\sqrt2\) n’est pas rationnelle.
Soit \(F\) une partie fermée non vide d’un espace complet et \(f : F\to F\) une application \(k\)-lipschitzienne avec \(k<1\) (une contraction). Alors \(f\) possède un unique point fixe \(\ell\), et pour tout \(u_0\in F\) la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\) avec \(\|u_n-\ell\|\le\dfrac{k^n}{1-k}\,\|u_1-u_0\|\).
La preuve consiste à montrer que \(\|u_{n+1}-u_n\|\le k^n\|u_1-u_0\|\), donc que la suite est de Cauchy, puis à passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\).
L’intervalle \(F=[0,1]\) est fermé dans \(\mathbb{R}\), donc complet. On a \(\cos([0,1])=[\cos1,1]\subset[0,1]\) et \(|\cos'|=|\sin|\le\sin1\approx0{,}841<1\) sur \(F\). Le théorème du point fixe donne une unique solution \(\ell\approx0{,}7391\), limite de \(u_{n+1}=\cos u_n\) quel que soit \(u_0\in[0,1]\).
9. Connexité par arcs
Un chemin dans \(A\) est une application continue \(\gamma : [0,1]\to A\). La partie \(A\) est connexe par arcs si deux points quelconques \(P,Q\in A\) peuvent être reliés par un chemin, c’est-à-dire s’il existe \(\gamma\) continue avec \(\gamma(0)=P\) et \(\gamma(1)=Q\).
Toute partie convexe est connexe par arcs (le segment \([P,Q]\) est un chemin). L’image d’une partie connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs. Les parties connexes par arcs de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles : c’est le théorème des valeurs intermédiaires. Ainsi, si \(A\) est connexe par arcs et \(f : A\to\mathbb{R}\) est continue, alors \(f(A)\) est un intervalle.
L’ensemble \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) n’est pas connexe par arcs : un chemin continu de \(-1\) à \(1\) prendrait la valeur \(0\). En revanche \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\) l’est : si le segment \([P,Q]\) évite \(0\), on le prend ; sinon \(P\) et \(Q\) sont alignés avec \(0\), et on passe par un point \(C\) hors de cette droite en suivant \([P,C]\) puis \([C,Q]\).
À retenir
- Une norme définit une distance ; les boules ouvertes engendrent les ouverts. Une réunion quelconque et une intersection finie d’ouverts sont ouvertes.
- \(a\in\overline{A}\) si et seulement si \(a\) est limite d’une suite de \(A\) ; \(A\) est fermée si et seulement si \(A=\overline{A}\).
- Une application est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert ; une application linéaire est continue si et seulement si \(\|u(x)\|\le C\|x\|\).
- Un compact est fermé borné ; en dimension finie la réciproque est vraie. Une fonction continue sur un compact atteint ses bornes.
- En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, toute application linéaire est continue et l’espace est complet.
- Dans un espace complet, une contraction admet un unique point fixe, limite de toute suite itérée.
- L’image continue d’une partie connexe par arcs est connexe par arcs ; dans \(\mathbb{R}\), ce sont les intervalles.
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