Vecteurs du plan : cours de maths 2de

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Cours de maths en 2de : Vecteurs du plan — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une tortue marine quitte son île et nage pendant des jours : pour décrire son voyage, dire « 40 km » ne suffit pas, il faut aussi préciser dans quelle direction et dans quel sens elle avance. Les vecteurs sont l’outil des mathématiciens pour rassembler ces trois informations en un seul objet. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les construire, à les additionner, à les multiplier par un nombre, puis à t’en servir pour démontrer que des droites sont parallèles, que des points sont alignés ou qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Sommaire

1. Translation et vecteur

Translation

Soit \(A\) et \(B\) deux points. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) associe à chaque point \(M\) l’unique point \(N\) tel que \(ABNM\) soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On dit que tous les points glissent de la même façon : même direction, même sens, même longueur de déplacement.

Vecteur

Le déplacement qui amène \(A\) en \(B\) est représenté par le vecteur \overrightarrow{AB}. Il est caractérisé par trois informations :

sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
sa norme, notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\) : c’est la longueur \(AB\).

Quand \(A = B\), on obtient le vecteur nul, noté \(\vec{0}\), de norme \(0\).

Un même vecteur peut se dessiner à plusieurs endroits du plan : sur la figure, les trois flèches orange représentent le même vecteur \(\vec{u}\). On peut donc aussi nommer un vecteur par une seule lettre, comme \(\vec{u}\), sans préciser où il est tracé.

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on lit toujours un vecteur comme un ordre de voyage : « pars de la première lettre et arrive à la seconde ». \overrightarrow{AB} va de \(A\) vers \(B\), et \overrightarrow{BA} fait le chemin inverse !

2. Égalité de vecteurs et coordonnées

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Pour quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) :

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati).} \]

Dans un repère, chaque vecteur a des coordonnées. Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors
\[ \overrightarrow{AB} \,(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A). \]
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Dans un repère orthonormé, la norme se calcule avec le théorème de Pythagore : si \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\), alors \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Exemple 1

Soit \(A(-2\,;\,1)\) et \(B(3\,;\,4)\). Alors \overrightarrow{AB} \((3 - (-2) \,;\, 4 - 1) = (5 \,;\, 3)\), et \(AB = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}\).

Exemple 2

Soit \(A(-3\,;\,1)\), \(B(2\,;\,0)\), \(C(5\,;\,4)\). On cherche \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme, c’est-à-dire \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

\overrightarrow{AB} \((5 \,;\, -1)\) et \overrightarrow{DC} \((5 - x_D \,;\, 4 - y_D)\). On doit avoir \(5 - x_D = 5\) et \(4 - y_D = -1\), donc \(D(0\,;\,5)\).

3. Somme de vecteurs et relation de Chasles

Somme de deux vecteurs

La somme \(\vec{u} + \vec{v}\) est le vecteur associé au déplacement « d’abord \(\vec{u}\), puis \(\vec{v}\) ». Pour la construire, on place \(\vec{v}\) à la suite de \(\vec{u}\).

Relation de Chasles

Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \] Le vecteur opposé de \overrightarrow{AB} est \overrightarrow{BA} : on écrit \overrightarrow{BA} \(= -\)\overrightarrow{AB}. En particulier \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BA} \(= \vec{0}\).

Si \(ABCD\) est un parallélogramme, la règle du parallélogramme donne \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{AD} \(=\) \overrightarrow{AC}. En coordonnées, on additionne composante par composante : \(\vec{u}\,(x \,;\, y) + \vec{v}\,(x' \,;\, y') = (x + x' \,;\, y + y')\).

Méthode : simplifier une somme de vecteurs

Repère les vecteurs dont l’extrémité de l’un est l’origine du suivant.
Remplace-les par un seul vecteur grâce à la relation de Chasles.
Si une lettre est « à l’envers », utilise l’opposé : \overrightarrow{CB} \(= -\)\overrightarrow{BC}.

Exemple 3

Simplifie \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{CD} \(+\) \overrightarrow{BC}. On réordonne : \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BC} \(+\) \overrightarrow{CD} \(=\) \overrightarrow{AC} \(+\) \overrightarrow{CD} \(=\) \overrightarrow{AD}.

Avec \(\vec{u}\,(3 \,;\, -2)\) et \(\vec{v}\,(-1 \,;\, 5)\) : \(\vec{u} + \vec{v} = (2 \,;\, 3)\).

4. Multiplication d’un vecteur par un réel

Produit \(k\vec{u}\)

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un réel. Le vecteur \(k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\) ; il a le même sens si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\) ; sa norme est \(|k|\times\|\vec{u}\|\). Si \(k = 0\) ou si \(\vec{u} = \vec{0}\), alors \(k\vec{u} = \vec{0}\).

En coordonnées : si \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\), alors \(k\vec{u}\,(kx \,;\, ky)\). Les règles de calcul habituelles s’appliquent : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\) et \((k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}\).

Exemple 4

Avec \(\vec{u}\,(3 \,;\, -2)\) et \(\vec{v}\,(-1 \,;\, 5)\) : \(2\vec{u} - 3\vec{v} = (6 \,;\, -4) - (-3 \,;\, 15) = (9 \,;\, -19)\).

Attention

La norme de \(k\vec{u}\) vaut \(|k|\,\|\vec{u}\|\), avec une valeur absolue : \(\|-3\vec{u}\| = 3\|\vec{u}\|\), jamais \(-3\|\vec{u}\|\), car une norme n’est jamais négative.

5. Colinéarité

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si l’un est nul ou s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = k\vec{v}\)).

Critère de colinéarité

Dans un repère, \(\vec{u}\,(x \,;\, y)\) et \(\vec{v}\,(x' \,;\, y')\) sont colinéaires si et seulement si \[ xy' - x'y = 0. \] Le nombre \(xy' - x'y\) s’appelle le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Exemple 5

Les vecteurs \(\vec{u}\,(6 \,;\, -4)\) et \(\vec{v}\,(-9 \,;\, 6)\) : \(6\times 6 - (-9)\times(-4) = 36 - 36 = 0\), donc ils sont colinéaires, et \(\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}\). En revanche \(\vec{u}\,(2 \,;\, 5)\) et \(\vec{w}\,(3 \,;\, 7)\) ne le sont pas : \(2\times 7 - 3\times 5 = -1 \neq 0\).

6. Parallélisme et alignement

Deux caractérisations

Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Méthode : prouver un alignement

Calcule les coordonnées de deux vecteurs ayant un point commun, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Calcule leur déterminant.
S’il vaut \(0\), les points sont alignés ; sinon ils ne le sont pas.

Exemple 6

\(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(10\,;\,7)\). On a \overrightarrow{AB} \((3 \,;\, 2)\) et \overrightarrow{AC} \((9 \,;\, 6)\), donc \(3\times 6 - 9\times 2 = 0\) : les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Attention

Deux vecteurs colinéaires donnent des droites parallèles, mais ces droites peuvent être confondues. Pour affirmer qu’elles sont strictement parallèles, vérifie qu’un point de l’une n’appartient pas à l’autre.

7. Milieu d’un segment et parallélogramme

Milieu

Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \overrightarrow{AI} \(=\) \overrightarrow{IB}, ce qui équivaut à \overrightarrow{AB} \(= 2\)\overrightarrow{AI}. Ses coordonnées sont \[ I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right). \]

Parallélogramme

Les propriétés suivantes sont équivalentes : \(ABCD\) est un parallélogramme ; \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC} ; les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu, c’est-à-dire \(x_A + x_C = x_B + x_D\) et \(y_A + y_C = y_B + y_D\).

Exemple 7

Pour \(A(1\,;\,1)\), \(B(6\,;\,2)\), \(C(8\,;\,6)\), \(D(3\,;\,5)\) : \overrightarrow{AB} \((5 \,;\, 1)\) et \overrightarrow{DC} \((5 \,;\, 1)\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme. Le milieu de \([AC]\) est \(I\left(\dfrac{9}{2}\,;\,\dfrac{7}{2}\right)\), et c’est aussi celui de \([BD]\).

À retenir

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme ; \overrightarrow{AB} \((x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)\).
\overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{CD} équivaut à : \(ABDC\) est un parallélogramme.
Chasles : \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BC} \(=\) \overrightarrow{AC} ; l’opposé de \overrightarrow{AB} est \overrightarrow{BA}.
\(k\vec{u}\,(kx \,;\, ky)\) et \(\|k\vec{u}\| = |k|\,\|\vec{u}\|\).
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff xy' - x'y = 0\).
\((AB)\parallel(CD)\) équivaut à \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} colinéaires ; \(A,B,C\) alignés équivaut à \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} colinéaires.
\(I\) milieu de \([AB]\) équivaut à \overrightarrow{AI} \(=\) \overrightarrow{IB} ; \(ABCD\) parallélogramme équivaut à \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC}.