Un son de violon, la température d’une barre métallique, une onde sur une corde : tous ces phénomènes périodiques ou presque se décomposent en harmoniques simples, sinus et cosinus de fréquences multiples. Ce chapitre construit cette décomposition, étudie en quel sens la série obtenue converge vers le signal, puis la met au travail sur des équations aux dérivées partielles.
1. Coefficients de Fourier
On considère des fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) \(2\pi\)-périodiques et continues par morceaux. Pour \(n \in \mathbb{Z}\), on pose \(e_n(t) = e^{int}\).
Le coefficient de Fourier exponentiel d’indice \(n\) est \[ c_n(f) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,e^{-int}\,dt. \] Les coefficients réels sont \[ a_n(f) = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt, \qquad b_n(f) = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt. \] On a \(c_0 = \dfrac{a_0}{2}\) et, pour \(n \geq 1\), \(c_{\pm n} = \dfrac{a_n \mp i\,b_n}{2}\). La somme partielle d’ordre \(N\) est \(S_N f(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{int} = \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\big(a_n\cos nt + b_n\sin nt\big)\).
Si \(f\) est paire, tous les \(b_n\) sont nuls ; si \(f\) est impaire, tous les \(a_n\) sont nuls. Pour une période \(2L\), on remplace \(nt\) par \(\dfrac{n\pi x}{L}\) et le facteur \(\dfrac{1}{\pi}\) par \(\dfrac{1}{L}\).
Soit \(f(t) = t\) sur \(]-\pi, \pi[\), prolongée par périodicité. Elle est impaire, donc \(a_n = 0\). Par parties, pour \(n \geq 1\) : \[ b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} t\sin(nt)\,dt = \dfrac{2}{\pi}\Big[-\dfrac{t\cos nt}{n}\Big]_0^{\pi} = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}. \] Ainsi \(S_3 f(t) = 2\sin t - \sin 2t + \dfrac{2}{3}\sin 3t\).
Soit \(g = -1\) sur \(]-\pi, 0[\) et \(g = 1\) sur \(]0, \pi[\). Elle est impaire et \(b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,dt = \dfrac{2\,(1-(-1)^n)}{n\pi}\), soit \(b_n = \dfrac{4}{n\pi}\) si \(n\) est impair et \(0\) sinon : \[ g(t) \;\sim\; \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}. \]
2. Convergence en moyenne quadratique
Sur l’espace des fonctions \(2\pi\)-périodiques continues par morceaux, \(\langle f, g\rangle = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f\,\overline{g}\) est un produit scalaire (hermitien) dès qu’on identifie deux fonctions qui diffèrent en un nombre fini de points, et \((e_n)_{n \in \mathbb{Z}}\) est une famille orthonormée. Alors \(c_n(f) = \langle f, e_n\rangle\) et \(S_N f\) est la projection orthogonale de \(f\) sur \(\operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)\) : c’est la meilleure approximation de \(f\) par un polynôme trigonométrique de degré \(\leq N\) pour la norme \(\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f\rangle}\).
\(\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}|c_n|^2 \leq \|f\|_2^2\) pour tout \(N\), et \(\|f - S_N f\|_2 \longrightarrow 0\) quand \(N \to +\infty\).
La seconde assertion repose sur la densité des polynômes trigonométriques (voir la partie 5). Elle exprime que l’énergie de l’erreur tend vers \(0\), mais ne dit rien de la convergence en chaque point.
3. Théorème de Dirichlet et formule de Parseval
Si \(f\) est \(2\pi\)-périodique et de classe \(C^1\) par morceaux, alors pour tout réel \(t\), \[ S_N f(t) \longrightarrow \dfrac{f(t^+) + f(t^-)}{2}. \] En particulier la somme vaut \(f(t)\) en tout point de continuité. Si de plus \(f\) est continue, la convergence est normale, donc uniforme sur \(\mathbb{R}\).
Pour \(f\) continue par morceaux, \[ \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2\,dt = \sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n|^2 = \dfrac{a_0^2}{4} + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\big(a_n^2 + b_n^2\big) \quad (f \text{ réelle}). \]
Pour la rampe, Parseval donne \(\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt = \dfrac{2\pi^2}{3} = \sum_{n\geq 1}\dfrac{4}{n^2}\), d’où \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\). Pour le créneau, Dirichlet en \(t = \dfrac{\pi}{2}\) donne \(1 = \dfrac{4}{\pi}\Big(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \cdots\Big)\), soit \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{2k+1} = \dfrac{\pi}{4}\).
La série de Fourier d’une fonction continue ne converge pas nécessairement en chaque point : il existe des contre-exemples. L’hypothèse « \(C^1\) par morceaux » de Dirichlet n’est donc pas un détail.
4. Quelques coefficients à connaître
| Signal sur \(]-\pi, \pi[\) | Coefficients | Somme de Parseval |
|---|---|---|
| \(t\) | \(b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\) | \(\sum \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\) |
| \(|t|\) | \(a_0 = \pi\), \(a_n = \dfrac{-4}{\pi n^2}\) (\(n\) impair) | \(\sum_{n \text{ impair}} \dfrac{1}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{96}\) |
| \(t^2\) | \(a_0 = \dfrac{2\pi^2}{3}\), \(a_n = \dfrac{4(-1)^n}{n^2}\) | \(\sum \dfrac{1}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{90}\) |
- Rendre \(f\) \(2\pi\)-périodique et repérer la parité pour annuler la moitié des coefficients.
- Calculer \(a_n\) ou \(b_n\) par parties (ou \(c_n\) par une primitive de \(e^{(\alpha - in)t}\)).
- Appliquer Dirichlet en un point bien choisi pour évaluer une série numérique.
- Appliquer Parseval pour une série de carrés.
5. Noyau de Fejér et densité
La moyenne de Cesàro \(\sigma_N f = \dfrac{S_0 f + \cdots + S_N f}{N+1}\) s’écrit \(\sigma_N f(t) = \sum_{|n| \leq N}\Big(1 - \dfrac{|n|}{N+1}\Big)c_n e^{int} = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t-s)\,F_N(s)\,ds\), avec le noyau de Fejér \[ F_N(s) = \sum_{|n| \leq N}\Big(1 - \dfrac{|n|}{N+1}\Big)e^{ins} = \dfrac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\frac{(N+1)s}{2}}{\sin\frac{s}{2}}\right)^2 \geq 0. \]
Le noyau \(F_N\) est positif, de moyenne \(\dfrac{1}{2\pi}\int F_N = 1\), et pour \(0 < \delta \leq |s| \leq \pi\), \(F_N(s) \leq \dfrac{1}{(N+1)\sin^2(\delta/2)} \to 0\). Par suite, si \(f\) est continue \(2\pi\)-périodique, \(\sigma_N f \to f\) uniformément.
Contrairement à \(S_N f\), la suite \(\sigma_N f\) converge pour toute fonction continue : les polynômes trigonométriques sont denses pour la norme uniforme, donc pour la norme \(L^2\), ce qui fournit la convergence quadratique et la formule de Parseval.
Pour \(f(t) = t\), \(\sigma_2 f(t) = \Big(1 - \dfrac{1}{3}\Big)2\sin t + \Big(1 - \dfrac{2}{3}\Big)(-1)\sin 2t = \dfrac{4}{3}\sin t - \dfrac{1}{3}\sin 2t\). Les harmoniques élevés sont atténués.
6. Le phénomène de Gibbs
Près d’une discontinuité, la convergence ne peut être uniforme (une limite uniforme de fonctions continues est continue). Pour le créneau de hauteur \(\pm 1\), les sommes partielles \(S_{2m-1}\) présentent un premier pic en \(t = \dfrac{\pi}{2m}\), dont la hauteur tend vers \[ \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\dfrac{\sin u}{u}\,du \approx 1{,}179 \] et non vers \(1\) : le dépassement d’environ \(0{,}179\), soit près de 9 % du saut (qui vaut \(2\)), ne disparaît jamais, il se contente de se rapprocher de la discontinuité.
Pour retrouver la position du pic, dérive la somme partielle : \(S_{2m-1}'(t) = \dfrac{2}{\pi}\dfrac{\sin 2mt}{\sin t}\) s’annule d’abord en \(\dfrac{\pi}{2m}\).
7. Applications aux équations aux dérivées partielles
La méthode de séparation des variables ramène une EDP linéaire à un problème de décomposition en série de Fourier.
Une barre de longueur \(\pi\), dont les extrémités sont maintenues à \(0\), obéit à \(\partial_t u = k\,\partial_{xx} u\) avec \(u(0,t) = u(\pi,t) = 0\) et \(u(x,0) = \varphi(x)\). On décompose \(\varphi(x) = \sum_{n\geq 1} b_n\sin nx\) (prolongement impair), avec \(b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\varphi(x)\sin nx\,dx\). Chaque mode évolue indépendamment : \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\,e^{-kn^2 t}\sin(nx). \] Pour \(\varphi(x) = x(\pi - x)\), on trouve \(b_n = \dfrac{8}{\pi n^3}\) si \(n\) est impair et \(0\) sinon.
Les hautes fréquences s’éteignent en \(e^{-kn^2 t}\) : c’est l’effet régularisant de la chaleur. Pour la corde vibrante \(\partial_{tt}u = c^2\partial_{xx}u\), avec la même condition aux bords et vitesse initiale nulle, on obtient \(u(x,t) = \sum b_n\cos(nct)\sin(nx)\) : les modes ne s’amortissent pas, ils oscillent à la fréquence \(nc\).
À retenir
- \(c_n = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}dt\) ; \(f\) paire donne \(b_n = 0\), \(f\) impaire donne \(a_n = 0\).
- \(S_N f\) est la projection orthogonale sur les polynômes trigonométriques de degré \(\leq N\) : \(\|f - S_N f\|_2 \to 0\).
- Dirichlet : si \(f\) est \(C^1\) par morceaux, \(S_N f(t) \to \dfrac{f(t^+) + f(t^-)}{2}\).
- Parseval : \(\dfrac{1}{2\pi}\int|f|^2 = \sum|c_n|^2\) ; il fournit \(\sum\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\).
- Fejér : \(F_N \geq 0\), de moyenne 1, et \(\sigma_N f \to f\) uniformément si \(f\) est continue.
- Gibbs : près d’un saut, dépassement persistant d’environ 9 % du saut.
- Chaleur : \(b_n e^{-kn^2t}\sin nx\) ; corde : \(b_n\cos(nct)\sin nx\).
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