Limites et continuité : cours de maths Licence L1

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Cours de maths en Licence L1 : Limites et continuité — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une fonction « se comporte bien » lorsqu’on peut prévoir sa valeur en un point à partir de ce qui se passe autour de lui. Ce chapitre donne un sens rigoureux à cette idée : on précise la notion de limite avec des \(\varepsilon\) et des \(\delta\), on en déduit la continuité, puis on en tire des théorèmes puissants (valeurs intermédiaires, bornes atteintes, bijections) qui servent dans toute l’analyse.

Sommaire

1. Limite d’une fonction

Limite finie en un point

Soit \(f\) définie sur une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(a\) un point de \(I\) ou une extrémité de \(I\) (la valeur en \(a\) éventuelle ne compte pas). On dit que \(f\) tend vers \(\ell\in\mathbb{R}\) en \(a\) si
\[ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x\in I\setminus\{a\},\quad |x-a|\le \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-\ell|\le \varepsilon . \]
On note \(\lim_{x\to a} f(x)=\ell\).

Autrement dit, on peut rendre \(f(x)\) aussi proche qu’on veut de \(\ell\) à condition de prendre \(x\) suffisamment proche de \(a\). La figure suivante montre la bande horizontale de demi-largeur \(\varepsilon\) et la bande verticale de demi-largeur \(\delta\) qui lui correspond.

On adapte la définition aux limites en \(+\infty\) (« pour tout \(\varepsilon\), il existe \(A\) tel que \(x\ge A\) entraîne \(|f(x)-\ell|\le\varepsilon\) ») et aux limites infinies (« pour tout \(M\), il existe \(\delta\) tel que \(x
e a\) et \(|x-a|\le\delta\) entraînent \(f(x)\ge M\) »). On parle de limite à gauche, notée \(\lim_{x\to a^-}f\), ou à droite, notée \(\lim_{x\to a^+}f\), lorsqu’on restreint \(x\) à \(xa\).

Exemple 1 : une limite par \(\varepsilon\)-\(\delta\)

Montrons que \(\lim_{x\to 2}(3x-1)=5\). Pour tout \(x\), \(|(3x-1)-5|=3|x-2|\). Soit \(\varepsilon>0\) ; posons \(\delta=\varepsilon/3\). Si \(|x-2|\le\delta\), alors \(|f(x)-5|\le 3\delta=\varepsilon\). La limite vaut bien \(5\).

Propriétés des limites

Unicité : si une limite existe, elle est unique.
Opérations : si \(f\to\ell\) et \(g\to\ell'\) en \(a\), alors \(f+g\to\ell+\ell'\), \(fg\to\ell\ell'\) et, si \(\ell'\ne0\), \(f/g\to\ell/\ell'\).
Encadrement : si \(g\le f\le h\) au voisinage de \(a\) et si \(g\) et \(h\) tendent vers \(\ell\), alors \(f\to\ell\).
Caractérisation séquentielle : \(f\to\ell\) en \(a\) si et seulement si, pour toute suite \((u_n)\) d’éléments de \(I\setminus\{a\}\) qui tend vers \(a\), la suite \((f(u_n))\) tend vers \(\ell\).

Astuce de Zyro

Pour prouver qu’une limite n’existe pas, trouve deux suites qui tendent toutes les deux vers \(a\) mais dont les images tendent vers des valeurs différentes : la caractérisation séquentielle fait le reste.

2. Continuité en un point

Fonction continue

Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Elle est continue sur \(I\) si elle l’est en chaque point de \(I\).

Les sommes, produits, quotients (de dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues. Les polynômes, \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur \(\mathbb{R}\). Une fonction peut avoir une limite en \(a\) sans être continue : il suffit que sa valeur en \(a\) soit « à part », comme ci-dessous.

Exemple 2 : prolongement par continuité

Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) pour \(x\ne2\). Pour \(x\ne 2\), \(f(x)=x+2\), donc \(\lim_{x\to2}f(x)=4\). On pose \(f(2)=4\) : la fonction ainsi prolongée est continue en \(2\). Toute autre valeur de \(f(2)\) donnerait une fonction discontinue en \(2\).

Erreur classique

La partie entière \(E\) est continue à droite en tout entier \(n\) (\(E(x)=n\) pour \(x\in[n,n+1[\)) mais pas à gauche : \(\lim_{x\to n^-}E(x)=n-1\ne E(n)\). Une fonction continue en \(a\) est continue à gauche et à droite ; la réciproque suppose que les deux limites soient égales à \(f(a)\).

3. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a

Idée de preuve : on pose \(c=\sup\{x\in[a,b] : f(x)\le y\}\) lorsque \(f(a)\le y\le f(b)\) et on montre, par continuité, que \(f(c)=y\). Le théorème a une conséquence essentielle : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Méthode : localiser une racine

Vérifier que \(f\) est continue sur \([a,b]\).
Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et constater qu’ils sont de signes contraires.
Conclure à l’existence d’une racine ; pour l’unicité, montrer que \(f\) est strictement monotone.
Resserrer par dichotomie : on coupe l’intervalle en deux et on garde la moitié où le signe change.

Exemple 3 : une racine par dichotomie

Soit \(f(x)=x^3+x-3\). Elle est continue, \(f(1)=-1<0\) et \(f(2)=7>0\) : il existe \(c\in]1,2[\) avec \(f(c)=0\). Comme \(f\) est strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), \(c\) est unique. Ensuite \(f(1{,}2)=-0{,}072<0\) et \(f(1{,}25)\approx0{,}203>0\), donc \(1{,}2

4. Image d’un segment

Théorème des bornes atteintes

Si \(f\) est continue sur un segment \([a,b]\), alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(m,M\in[a,b]\) tels que \(f(m)=\min f\) et \(f(M)=\max f\). Avec le TVI, on obtient \(f([a,b])=[\min f,\max f]\) : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Les hypothèses sont indispensables : \(x\mapsto 1/x\) est continue sur \(]0,1]\) mais n’est pas bornée ; \(x\mapsto x\) sur \(]0,1[\) n’atteint ni son minimum ni son maximum. Dans les deux cas l’ensemble de départ n’est pas un segment.

5. Fonctions monotones

Limites d’une fonction monotone

Soit \(f\) croissante sur \(]a,b[\). Alors \(f\) admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point \(c\) de \(]a,b[\), et \(f(c^-)\le f(c)\le f(c^+)\). En \(b\), \(f\) a une limite finie si elle est majorée, \(+\infty\) sinon.

Une fonction monotone n’a donc que des discontinuités « par saut ». Et même : si \(f\) est monotone sur un intervalle \(I\), elle est continue si et seulement si \(f(I)\) est un intervalle. Enfin, une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.

6. Continuité uniforme

Continuité uniforme

Une fonction \(f:I\to\mathbb{R}\) est uniformément continue sur \(I\) si
\[ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,y\in I,\quad |x-y|\le\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)-f(y)|\le\varepsilon . \]
Ici \(\delta\) ne dépend que de \(\varepsilon\), et non du point considéré.

Toute fonction \(k\)-lipschitzienne (\(|f(x)-f(y)|\le k|x-y|\)) est uniformément continue (prendre \(\delta=\varepsilon/k\)), et toute fonction uniformément continue est continue. Le théorème de Heine affirme : toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Exemple 4 : une fonction qui ne l’est pas

Sur \(]0,1]\), \(f(x)=1/x\) est continue. Posons \(x_n=1/n\) et \(y_n=1/(n+1)\) : alors \(|x_n-y_n|=\dfrac{1}{n(n+1)}\to0\) mais \(|f(x_n)-f(y_n)|=1\). Avec \(\varepsilon=\tfrac12\), aucun \(\delta\) ne convient : \(f\) n’est pas uniformément continue sur \(]0,1]\).

7. Fonctions réciproques

Théorème de la bijection

Soit \(f\) continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur l’intervalle \(J=f(I)\), et la bijection réciproque \(f^{-1}:J\to I\) est continue, strictement monotone, de même sens de variation que \(f\).

Dans un repère orthonormé, les courbes de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\).

Exemple 5 : calculer une réciproque

La fonction \(f(x)=x^2+2x\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), de limite \(+\infty\) en \(+\infty\), avec \(f(0)=0\) : c’est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \([0,+\infty[\). Résolvons \(y=x^2+2x\) : \((x+1)^2=1+y\), donc \(x=-1+\sqrt{1+y}\) car \(x\ge 0\). Ainsi \(f^{-1}(y)=\sqrt{1+y}-1\) ; par exemple \(f^{-1}(8)=2\), ce qui est cohérent avec \(f(2)=8\).

À retenir

\(\lim_{x\to a}f=\ell\) signifie : \(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ |x-a|\le\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon\) ; la limite est unique et se teste avec des suites.
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
TVI : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle ; un changement de signe donne une racine.
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment, et \(f\) y est bornée en atteignant ses bornes.
Une fonction monotone a des limites à gauche et à droite ; continue et injective sur un intervalle, elle est strictement monotone.
Lipschitzienne \(\Rightarrow\) uniformément continue \(\Rightarrow\) continue ; sur un segment, continue \(\Rightarrow\) uniformément continue.
Continue et strictement monotone : bijection dont la réciproque est continue, de même monotonie.