Une brique de lait, une piscine, un colis, un film : tout autour de toi se mesure ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître les solides, à calculer le volume d’un pavé droit, à convertir des unités de volume, de contenance et de masse, et à calculer des durées sans te tromper avec les heures et les minutes.
1. Les solides usuels
Un solide est un objet en trois dimensions. Les solides à faces plates s’appellent des polyèdres : leurs faces sont des polygones, leurs arêtes sont les segments où deux faces se rejoignent et leurs sommets sont les coins.
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés | 12 | 8 |
| Pavé droit | 6 rectangles | 12 | 8 |
| Prisme droit à base triangulaire | 5 (2 triangles et 3 rectangles) | 9 | 6 |
| Pyramide à base carrée | 5 (1 carré et 4 triangles) | 8 | 5 |
| Cylindre | 2 disques et 1 face courbe | aucune arête droite | aucun |
Autour de nous : une boîte de céréales est un pavé droit, un dé est un cube, une canette est un cylindre, une tente de camping en forme de toit est un prisme droit, un ballon est une boule.
2. Le pavé droit et son patron
Un patron est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, donne le solide. Pour un pavé droit de 5 cm sur 3 cm sur 2 cm, le patron comporte 6 rectangles : deux de \(5\text{ cm}\times 3\text{ cm}\) (dessus et dessous), deux de \(5\text{ cm}\times 2\text{ cm}\) (devant et derrière) et deux de \(3\text{ cm}\times 2\text{ cm}\) (les côtés).
\[ 2\times(5\times 3)+2\times(5\times 2)+2\times(3\times 2)=30+20+12=62\text{ cm}^2. \]
Il faudra 62 cm² de carton pour fabriquer cette boîte.
3. Le volume du pavé droit
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe. Pour le calculer, on compte combien de cubes unités il contient. Dans le pavé ci-dessous, chaque couche contient \(4\times 3=12\) cubes et il y a 2 couches : \(12\times 2=24\) cubes.
\[ V = L\times \ell\times h. \]
Pour un cube d’arête \(c\) : \(V=c\times c\times c=c^3\).
\[ V=12\times 8\times 5=480\text{ cm}^3. \]
Réponse : le volume de la boîte est 480 cm³.
4. Les unités de volume
L’unité principale est le mètre cube (m³), volume d’un cube de 1 m d’arête. On utilise aussi le décimètre cube (dm³) et le centimètre cube (cm³). Comme \(1\text{ m}=10\text{ dm}\), on a \(1\text{ m}^3=10\times 10\times 10=1\,000\text{ dm}^3\). Chaque unité de volume vaut 1 000 fois la suivante.
| m³ | dm³ | cm³ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 |
- Place le nombre dans le tableau, un chiffre par colonne, en groupant par 3 colonnes (m³, dm³, cm³).
- Complète par des zéros les cases vides.
- Lis le nombre dans la nouvelle unité.
5. Volume et contenance
La contenance d’un récipient est la quantité de liquide qu’il peut contenir. Son unité est le litre (L). Le lien avec les volumes est à connaître :
| Unité | kL | hL | daL | L | dL | cL | mL |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur en litres | 1 000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Chaque unité de contenance vaut 10 fois la suivante : \(1\text{ L}=10\text{ dL}=100\text{ cL}=1\,000\text{ mL}\).
6. Les unités de masse
La masse mesure la quantité de matière d’un objet. L’unité légale est le kilogramme (kg), mais on calcule souvent en grammes.
| Unité | t | q | kg | hg | dag | g | mg |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur en grammes | 1 000 000 | 100 000 | 1 000 | 100 | 10 | 1 | 0,001 |
Retiens : \(1\text{ t}=1\,000\text{ kg}\), \(1\text{ kg}=1\,000\text{ g}\), \(1\text{ g}=1\,000\text{ mg}\) et \(1\text{ q}=100\text{ kg}\). Pour convertir, on se déplace dans le tableau : chaque case vers la droite multiplie par 10.
7. Les durées
Les durées ne se calculent pas comme les nombres décimaux : on compte de 60 en 60. Retiens \(1\text{ h}=60\text{ min}\), \(1\text{ min}=60\text{ s}\) et \(1\text{ jour}=24\text{ h}\). Ainsi, \(1{,}5\text{ h}\) ne s’écrit pas 1 h 50 min mais 1 h 30 min.
- Pars de l’heure de début et va jusqu’à l’heure pleine suivante.
- Ajoute les heures entières jusqu’à l’heure de la fin.
- Ajoute les minutes restantes, puis additionne le tout.
8. Résoudre un problème de grandeurs
- Repère la grandeur demandée (volume, masse, durée, contenance).
- Convertis toutes les données dans la même unité.
- Calcule, puis convertis le résultat dans l’unité demandée.
- Écris une phrase-réponse avec l’unité.
Par exemple, pour savoir si un aquarium de 60 cm sur 30 cm sur 40 cm peut contenir 70 L, on calcule \(60\times 30\times 40=72\,000\text{ cm}^3=72\text{ dm}^3=72\text{ L}\) : oui, mais il sera presque plein.
À retenir
- Un pavé droit a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets ; son patron compte 6 rectangles.
- Volume du pavé droit : \(V=L\times\ell\times h\) ; volume du cube : \(V=c^3\).
- \(1\text{ m}^3=1\,000\text{ dm}^3\) et \(1\text{ dm}^3=1\,000\text{ cm}^3\).
- \(1\text{ L}=1\text{ dm}^3\) et \(1\text{ mL}=1\text{ cm}^3\).
- \(1\text{ t}=1\,000\text{ kg}\) et \(1\text{ kg}=1\,000\text{ g}\).
- \(1\text{ h}=60\text{ min}\) et \(1\text{ min}=60\text{ s}\) : les durées se calculent de 60 en 60.
