Combien de places dans un stade, combien de pièces dans une usine en un mois, combien d’argent reste-t-il dans la caisse d’un club ? Pour répondre, on additionne, on soustrait et on multiplie, souvent avec de grands nombres. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à poser proprement ces opérations, à vérifier tes résultats grâce à l’ordre de grandeur, et à résoudre des problèmes en plusieurs étapes.
1. L’addition posée de grands nombres
Pour additionner de grands nombres, on les écrit l’un sous l’autre en alignant les chiffres de même rang : unités sous unités, dizaines sous dizaines, centaines sous centaines, et ainsi de suite. Puis on calcule colonne par colonne, de la droite vers la gauche.
- Aligne les chiffres par rang, en partant de la droite.
- Additionne les unités. Si le total dépasse 9, écris le chiffre des unités et retiens la dizaine.
- Passe à la colonne suivante en n’oubliant pas la retenue.
- Termine par la colonne la plus à gauche, puis vérifie avec un ordre de grandeur.
Calcule \(48\,372 + 25\,649\).
Unités : \(2 + 9 = 11\), j’écris 1 et je retiens 1. Dizaines : \(7 + 4 + 1 = 12\), j’écris 2 et je retiens 1. Centaines : \(3 + 6 + 1 = 10\), j’écris 0 et je retiens 1. Milliers : \(8 + 5 + 1 = 14\), j’écris 4 et je retiens 1. Dizaines de milliers : \(4 + 2 + 1 = 7\).
\(48\,372 + 25\,649 = 74\,021\).
Quand les nombres n’ont pas le même nombre de chiffres, c’est la droite qui compte, pas la gauche. Pour \(6\,905 + 482\), le 2 de 482 se place sous le 5 de 6 905 : on trouve \(7\,387\).
Sur ma planète, on écrit les retenues en petit au-dessus de la colonne suivante. Comme ça, on ne les oublie jamais !
2. La soustraction posée
La différence de deux nombres est le résultat de la soustraction du plus petit au plus grand. Une somme est le résultat d’une addition, un produit celui d’une multiplication.
Dans une soustraction, on enlève le plus petit nombre au plus grand. On pose l’opération en colonnes, en plaçant le plus grand nombre en haut. Quand un chiffre du haut est trop petit, on lui ajoute 10 et on ajoute aussi 1 au chiffre voisin du nombre du bas : la différence ne change pas.
Calcule \(70\,004 - 38\,625\).
Unités : \(14 - 5 = 9\) (je retiens 1, le 2 devient 3). Dizaines : \(10 - 3 = 7\) (je retiens 1, le 6 devient 7). Centaines : \(10 - 7 = 3\) (je retiens 1, le 8 devient 9). Milliers : \(10 - 9 = 1\) (je retiens 1, le 3 devient 4). Dizaines de milliers : \(7 - 4 = 3\).
\(70\,004 - 38\,625 = 31\,379\). Preuve : \(31\,379 + 38\,625 = 70\,004\).
Pour contrôler une soustraction, ajoute le résultat au nombre retranché : tu dois retrouver le grand nombre du départ.
3. Multiplier par un nombre à un chiffre
On multiplie chaque chiffre du grand nombre par le multiplicateur, de la droite vers la gauche, en gardant les retenues.
Calcule \(3\,456 \times 7\).
\(6 \times 7 = 42\) : j’écris 2, je retiens 4. \(5 \times 7 = 35\), plus 4 : 39, j’écris 9, je retiens 3. \(4 \times 7 = 28\), plus 3 : 31, j’écris 1, je retiens 3. \(3 \times 7 = 21\), plus 3 : 24.
\(3\,456 \times 7 = 24\,192\).
4. La multiplication posée à deux chiffres
Multiplier par \(27\), c’est multiplier par \(7\) puis par \(20\), et additionner les deux produits partiels. Pour multiplier par les dizaines, on écrit d’abord un 0 dans la colonne des unités : c’est le « décalage ».
- Calcule \(345 \times 7 = 2\,415\).
- Écris un 0 sous les unités, puis calcule \(345 \times 2 = 690\) : cela donne \(6\,900\), c’est-à-dire \(345 \times 20\).
- Additionne les deux produits partiels : \(2\,415 + 6\,900 = 9\,315\).
\(345 \times 27 = 345 \times 7 + 345 \times 20 = 2\,415 + 6\,900 = 9\,315\).
Oublier le 0 est l’erreur la plus fréquente : le deuxième produit partiel serait dix fois trop petit.
5. Multiplier par 10, 100, 1 000
Multiplier par \(10\), \(100\) ou \(1\,000\), c’est décaler chaque chiffre de un, deux ou trois rangs vers la gauche. Pour un nombre entier, on ajoute simplement un, deux ou trois zéros à la fin.
| Nombre | × 10 | × 100 | × 1 000 |
|---|---|---|---|
| 47 | 470 | 4 700 | 47 000 |
| 306 | 3 060 | 30 600 | 306 000 |
| 1 250 | 12 500 | 125 000 | 1 250 000 |
On s’appuie sur cette règle pour multiplier des multiples de 10 : \(40 \times 300\) se calcule avec \(4 \times 3 = 12\), puis on ajoute les trois zéros (un dans 40, deux dans 300) : \(40 \times 300 = 12\,000\).
\(63 \times 100 = 6\,300\) ; \(250 \times 1\,000 = 250\,000\) ; \(6{,}3 \times 100 = 630\).
6. Calcul mental et ordre de grandeur
Avant de poser une opération, ou après l’avoir posée, estime le résultat avec des nombres « ronds ». C’est l’ordre de grandeur : il ne donne pas la valeur exacte, mais il t’alerte si tu as fait une grosse erreur.
Pour \(4\,987 + 3\,012\), on remplace 4 987 par 5 000 et 3 012 par 3 000 : l’ordre de grandeur est \(8\,000\). Le calcul exact donne \(7\,999\), tout près.
Pour \(52 \times 19\), on prend \(50 \times 20 = 1\,000\). Le calcul exact donne \(988\).
Quelques astuces de calcul mental : \(99 \times 6 = 100 \times 6 - 6 = 594\) ; \(25 \times 4 = 100\), donc \(25 \times 4 \times 7 = 700\).
7. Les problèmes à étapes
- Lis l’énoncé et repère la question finale.
- Cherche les calculs intermédiaires dont tu as besoin.
- Fais chaque calcul en notant ce qu’il représente.
- Écris une phrase-réponse avec l’unité et vérifie que le résultat est vraisemblable.
Un club de judo commande 12 kimonos à 28 € pièce et 15 ceintures à 6 € pièce. Il dispose de 500 €. Combien lui reste-t-il ?
Kimonos : \(12 \times 28 = 336\) €. Ceintures : \(15 \times 6 = 90\) €. Total : \(336 + 90 = 426\) €. Reste : \(500 - 426 = 74\) €.
Il reste 74 € au club.
Les diagrammes t’aident aussi à trouver des données. Voici le nombre de visiteurs d’un musée :
En quatre jours, il est venu \(240 + 180 + 310 + 270 = 1\,000\) visiteurs. Avec un billet à 6 €, la recette est de \(1\,000 \times 6 = 6\,000\) €.
À retenir
- On pose les opérations en alignant les chiffres par rang, en partant de la droite.
- Pour une addition, on note les retenues ; pour une soustraction, on vérifie en additionnant.
- Multiplier par \(10\), \(100\), \(1\,000\) ajoute un, deux, trois zéros à un entier.
- Dans une multiplication à deux chiffres, le 2ème produit partiel commence par un 0 de décalage.
- L’ordre de grandeur permet de repérer une erreur grossière avant de conclure.
- Un problème à étapes se résout calcul après calcul, avec une phrase-réponse.
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