Calcul littéral et factorisation : cours de maths 3ème

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Cours de maths en 3ème : Calcul littéral et factorisation — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Un jardin qui s’agrandit, un tarif qui dépend du nombre de places, un programme de calcul que l’on répète : dès qu’une grandeur varie, on la remplace par une lettre. Le calcul littéral t’apprend alors à écrire la même expression sous plusieurs formes, et à choisir la plus pratique. Dans ce chapitre, tu vas développer, réduire, factoriser, puis te servir de tout cela pour résoudre des équations et démontrer des résultats.

Sommaire

1. Développer, réduire, factoriser : le vocabulaire

Les trois verbes à connaître

Développer : transformer un produit en une somme (ou une différence).
Réduire : regrouper les termes semblables pour obtenir l’écriture la plus courte.
Factoriser : transformer une somme en un produit. C’est l’opération inverse du développement.

Forme factorisée (un produit)	Forme développée (une somme)
\(3(x+2)\)	\(3x+6\)
\(x(x-5)\)	\(x^2-5x\)
\((x+1)(x+4)\)	\(x^2+5x+4\)

Aucune forme n’est « meilleure » en soi : la forme développée est pratique pour calculer ou comparer, la forme factorisée est précieuse pour résoudre une équation. Savoir passer de l’une à l’autre est tout l’enjeu du chapitre.

2. La distributivité simple

Distributivité simple

Pour tous nombres \(k\), \(a\) et \(b\) : \[ k(a+b)=ka+kb \qquad\text{et}\qquad k(a-b)=ka-kb \]

Le facteur \(k\) se « distribue » à chaque terme de la parenthèse. Lu de gauche à droite, c’est un développement ; lu de droite à gauche, c’est une factorisation.

Exemple 1

Développe et réduis \(A = 3x(2x-5)\).

\(A = 3x \times 2x - 3x \times 5 = 6x^2-15x\).

Piège

Quand le facteur est négatif, il change tous les signes : \(-2(x-4) = -2x+8\), et non \(-2x-8\).

3. La double distributivité

Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on additionne les quatre produits.

Double distributivité

\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]

Sur la figure, le grand rectangle mesure \(x+3\) de large et \(2x+1\) de haut. Son aire est le produit \((x+3)(2x+1)\), mais c’est aussi la somme des quatre morceaux : \(2x^2+6x+x+3\).

Exemple 2

Développe et réduis \(B = (2x-3)(x+4)\).

\(B = 2x \times x + 2x \times 4 - 3 \times x - 3 \times 4 = 2x^2+8x-3x-12 = 2x^2+5x-12\).

4. Les trois identités remarquables

Certains produits reviennent si souvent qu’on retient directement leur résultat. Ils se démontrent tous par la double distributivité.

Identités remarquables

Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

Le grand carré de côté \(a+b\) contient un carré \(a^2\), un carré \(b^2\) et deux rectangles \(ab\) : voilà d’où vient le double produit \(2ab\).

Pour la troisième identité, on retire un petit carré \(b^2\) du grand carré \(a^2\), puis on réarrange la pièce restante en un rectangle de dimensions \(a+b\) et \(a-b\).

Piège

\((a+b)^2\) n’est pas égal à \(a^2+b^2\) : il manque le double produit \(2ab\). Test : pour \(a=1\) et \(b=2\), \((1+2)^2=9\) alors que \(1^2+2^2=5\).

Exemple 3

Développe \(C = (3x+2)^2\) et \(D = (4x+7)(4x-7)\).

\(C = (3x)^2+2 \times 3x \times 2+2^2 = 9x^2+12x+4\).

\(D = (4x)^2-7^2 = 16x^2-49\).

5. Développer et réduire une expression

Méthode

Repère les produits à développer (distributivité simple, double ou identité remarquable).
Développe chaque produit en conservant le signe qui le précède : on met une parenthèse si un signe moins précède un développement.
Regroupe les termes de même nature (\(x^2\) avec \(x^2\), \(x\) avec \(x\), nombres entre eux).
Écris le résultat en ordre décroissant des puissances de \(x\).

Exemple 4

Développe et réduis \(E = (x+4)(x-2)-3(2x-1)\).

\((x+4)(x-2) = x^2+2x-8\) et \(3(2x-1) = 6x-3\).

\(E = x^2+2x-8-(6x-3) = x^2+2x-8-6x+3 = x^2-4x-5\).

Pour des calculs numériques, les identités remarquables servent aussi de raccourci : \(41^2=(40+1)^2=1600+80+1=1681\), ou encore \(48 \times 52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496\).

6. Factoriser avec un facteur commun

Factoriser, c’est repérer ce que tous les termes ont en commun et le mettre devant une parenthèse.

Méthode

Cherche le facteur commun : plus grand diviseur des nombres, puissance de \(x\) la plus petite, parenthèse identique.
Écris-le devant une parenthèse.
Dans la parenthèse, mets ce qui reste de chaque terme.
Vérifie en redéveloppant de tête.

Exemple 5

Factorise \(F = 12x^2-18x\) et \(G = (x+2)(3x-1)+(x+2)(x+5)\).

Dans \(F\), le plus grand diviseur commun de \(12\) et \(18\) est \(6\), et \(x\) est commun : \(F = 6x \times 2x - 6x \times 3 = 6x(2x-3)\).

Dans \(G\), le facteur commun est la parenthèse \((x+2)\) : \(G = (x+2)\left[(3x-1)+(x+5)\right] = (x+2)(4x+4) = 4(x+2)(x+1)\).

Astuce de Zyro

Quand tu as factorisé, redéveloppe vite fait dans ta tête : si tu retrouves l’expression de départ, ta factorisation est juste. C’est la meilleure façon de ne jamais se tromper de signe !

7. Factoriser avec une identité remarquable

Les identités se lisent aussi de droite à gauche. Pour les repérer, cherche :

une différence de deux carrés : \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) ;
un trinôme carré parfait : deux carrés \(a^2\) et \(b^2\) séparés par un double produit \(2ab\), donc \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) ou \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).

Exemple 6

Factorise \(H = 49x^2-36\) et \(K = 16x^2-24x+9\).

\(H = (7x)^2-6^2 = (7x-6)(7x+6)\).

\(K = (4x)^2-2 \times 4x \times 3+3^2 = (4x-3)^2\). On a bien vérifié que le terme central \(24x\) est le double produit \(2 \times 4x \times 3\).

8. Les équations produit nul

Propriété du produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(A \times B = 0\) équivaut à \(A = 0\) ou \(B = 0\).

Méthode

Ramène l’équation à la forme « un produit = 0 » (on factorise si besoin).
Annule chaque facteur séparément.
Résous les équations obtenues et conclus avec l’ensemble des solutions.

Exemple 7

Résous \((2x-5)(x+3)=0\).

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(2x-5=0\) ou \(x+3=0\), donc \(x=\dfrac{5}{2}=2{,}5\) ou \(x=-3\).

L’équation a deux solutions : \(-3\) et \(2{,}5\).

Exemple 8

Résous \((x+1)^2-16=0\).

C’est une différence de carrés : \((x+1)^2-4^2=(x+1-4)(x+1+4)=(x-3)(x+5)\). Donc \(x=3\) ou \(x=-5\).

Piège

Ne divise jamais par \(x\) dans une équation comme \(x^2=6x\) : tu perdrais la solution \(0\). Écris plutôt \(x^2-6x=0\), c’est-à-dire \(x(x-6)=0\), et trouve \(x=0\) ou \(x=6\).

9. Choisir la bonne forme

Une même expression peut s’écrire de trois manières, et chacune répond à une question différente. Prenons \(A(x) = (x-3)^2-4\).

Forme	Écriture	Elle sert à…
Avec un carré	\((x-3)^2-4\)	voir que le minimum est \(-4\), atteint pour \(x=3\)
Développée	\(x^2-6x+5\)	calculer l’image de \(0\) : \(A(0)=5\)
Factorisée	\((x-1)(x-5)\)	résoudre \(A(x)=0\) : \(x=1\) ou \(x=5\)

La courbe confirme les trois lectures : elle coupe l’axe horizontal en \(1\) et \(5\), coupe l’axe vertical en \(5\), et son point le plus bas est \((3\,;\,-4)\). Pour passer de l’une à l’autre : développe pour aller vers la forme développée, factorise (avec une identité) pour aller vers la forme factorisée.

Quelle forme choisir ?

Résoudre « \(=0\) » : la forme factorisée.
Calculer une valeur en \(x=0\) ou comparer deux expressions : la forme développée.
Trouver un minimum ou un maximum : la forme avec un carré : un carré n’est jamais négatif.

À retenir

Distributivité : \(k(a+b)=ka+kb\) ; double : \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
Identités remarquables : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
Développer, c’est passer d’un produit à une somme ; factoriser, c’est l’inverse.
Pour factoriser : facteur commun d’abord, puis identité remarquable.
Produit nul : \(A \times B=0\) si et seulement si \(A=0\) ou \(B=0\).
Choisis la forme selon la question : factorisée pour résoudre, développée pour calculer.