Espaces complets et point fixe : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Rang de Cauchy pour 1/n ★★★

Soit \( u_n=\dfrac1n \) pour \( n\geq1 \). Montrer que \( (u_n) \) est de Cauchy et trouver un rang \( N \) tel que \( |u_p-u_q|<10^{-3} \) pour tous \( p,q\geq N \).

2 Vrai ou faux sur les suites de Cauchy ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec justification.

1. Toute suite convergente est de Cauchy.
2. Toute suite bornée est de Cauchy.
3. Toute suite de Cauchy de \( \mathbb{Q} \) converge dans \( \mathbb{Q} \).
4. Une suite de Cauchy qui a une sous-suite convergente est convergente.

3 Une somme géométrique ★★★

Soit \( u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{2^k} \). Montrer que \( |u_q-u_p|<\dfrac1{2^p} \) pour \( q>p \), puis déterminer le plus petit rang \( N \) tel que \( 2^{-N}\leq10^{-4} \).

4 Contraction affine ★★★

Soit \( f(x)=\dfrac x3+2 \) sur \( \mathbb{R} \). Quel est son rapport de contraction ? Trouver son point fixe, puis le plus petit \( n \) tel que \( |x_n-x^*|<10^{-3} \) pour \( x_0=0 \).

5 Norme du sup sur [0,1] ★★★

Dans \( C([0,1]) \), on pose \( f(x)=x(1-x) \) et \( g(x)=\dfrac x4 \). Calculer \( \|f\|_\infty \) puis \( \|f-g\|_\infty \).

6 Complet ou non ? ★★★

Parmi \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{Q} \), \( [0,1] \), \( ]0,1[ \), \( \mathbb{Z} \) (distance usuelle), lesquels sont complets ?

7 Une racine itérée ★★★

Soit \( f(x)=\sqrt{x+2} \) sur \( X=[0,2] \). Montrer que \( f(X)\subset X \), que \( f \) est contractante et déterminer son point fixe.

8 Résoudre e^(-x) = x par itération ★★★

Soit \( f(x)=e^{-x} \) sur \( X=[0{,}4;0{,}7] \). Montrer que \( f \) est contractante sur \( X \) et trouver le nombre d’itérations garantissant une erreur inférieure à \( 10^{-3} \) en partant de \( x_0=0{,}5 \).

9 Un point fixe qui n’existe pas ★★★

Soit \( f(x)=x+\dfrac1x \) sur \( X=[1,+\infty[ \). Montrer que \( |f(x)-f(y)|<|x-y| \) pour \( x\neq y \), que \( f \) n’a pas de point fixe, et expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème de Banach-Picard.

10 Un système linéaire par itération ★★★

On cherche \( X=(x,y) \) tel que \( X=AX+B \) avec \( A=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}1\\0{,}3&0{,}4\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \), dans \( \mathbb{R}^2 \) muni de \( \|X\|_\infty=\max(|x|,|y|) \).

1. Montrer que \( X\mapsto AX+B \) est \( 0{,}7 \)-contractante.
2. Trouver le point fixe exactement.
3. Combien d’itérations garantissent \( 10^{-2} \) depuis \( X_0=(0,0) \) ?

11 x puissance n n’est pas de Cauchy ★★★

Pour \( n\geq1 \), \( f_n(x)=x^n \) sur \( [0,1] \). Calculer \( \|f_{2n}-f_n\|_\infty \). La suite est-elle de Cauchy dans \( (C([0,1]),\|\cdot\|_\infty) \) ?

12 Une équation intégrale ★★★

On cherche \( \varphi\in C([0,1]) \) vérifiant \( \varphi(x)=x+\dfrac13\int_0^1xt\,\varphi(t)\,dt \). Montrer que l’opérateur \( T \) correspondant est contractant, puis résoudre l’équation.

13 Baire et point isolé ★★★

Montrer qu’un espace métrique complet non vide sans point isolé est non dénombrable.

14 Famille lipschitzienne ★★★

Soit \( A=\{f\in C^1([0,1]) : \|f\|_\infty\leq 3,\ \|f'\|_\infty\leq 5\} \). Montrer que \( A \) est équicontinue en donnant explicitement \( \delta \) pour \( \varepsilon=0{,}1 \). Que dit Ascoli ?

15 L’opérateur de Volterra ★★★

Sur \( C([0,1]) \), on définit \( (V\varphi)(x)=1+\int_0^x\varphi(t)\,dt \).

1. Montrer que \( V \) est 1-lipschitzien mais pas contractant.
2. Montrer par récurrence \( |V^n\varphi-V^n\psi|(x)\leq\dfrac{x^n}{n!}\|\varphi-\psi\|_\infty \).
3. En déduire que \( V \) a un unique point fixe et le trouver.
4. Pour \( \varphi_n=V^n(1) \), calculer \( e-\varphi_5(1) \) à \( 10^{-3} \) près.

16 Dimension infinie et Baire ★★★

Soit \( E \) un espace de Banach de dimension infinie. Montrer que \( E \) n’a pas de base algébrique dénombrable.

17 Newton pour √7 ★★★

On pose \( g(x)=\dfrac12\left(x+\dfrac7x\right) \) sur \( X=[2,3] \). Montrer que \( g \) est contractante sur \( X \), identifier son point fixe et calculer \( x_1,x_2,x_3 \) depuis \( x_0=3 \).

18 Aucune sous-suite convergente ★★★

Dans \( C([0,1]) \) :

1. Montrer que \( (x^n) \) n’a aucune sous-suite uniformément convergente.
2. Montrer que \( g_n(x)=\dfrac{x^n}n \) est équicontinue et donner sa limite uniforme.

19 L1 n’est pas complet ★★★

Pour \( n\geq2 \), soit \( f_n \) la fonction nulle sur \( [0,\tfrac12] \), égale à \( n(x-\tfrac12) \) sur \( [\tfrac12,\tfrac12+\tfrac1n] \) et à 1 ensuite. Montrer que \( (f_n) \) est de Cauchy pour \( \|\cdot\|_1 \) dans \( C([0,1]) \) mais ne converge pas dans cet espace.

20 Picard pour y’ = t y ★★★

On considère \( y'=ty \), \( y(0)=1 \), et \( (T\varphi)(t)=1+\int_0^ts\,\varphi(s)\,ds \) sur \( C([0,1]) \). Montrer que \( T \) est \( \tfrac12 \)-contractant, calculer \( \varphi_1,\varphi_2 \) depuis \( \varphi_0=1 \), comparer avec la solution \( e^{t^2/2} \) en \( t=1 \) et vérifier la majoration d’erreur.

21 Distance au point fixe ★★★

Soit \( f \) une application \( k \)-contractante sur un complet, de point fixe \( x^* \). Montrer que, pour tout \( x \), \( d(x,x^*)\leq\dfrac{d(x,f(x))}{1-k} \). Vérifier sur \( f(x)=\dfrac x3+2 \) avec \( x=0 \).