Topologie des espaces métriques : contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Distances et normes / 3 pts

1. L’application \(d(x,y)=|x^2-y^2|\) est-elle une distance sur \(\mathbb{R}\) ? Et sur \([0,+\infty[\) ?

2. Calculer les trois normes \(\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2,\|\cdot\|_\infty\) de \(x=(2,-1,2)\) de \(\mathbb{R}^3\).

2 Ouverts, fermés, adhérence / 3 pts

Soit \(A=]-1,2]\cup\{4\}\subset\mathbb{R}\). Déterminer \(\mathring{A}\), \(\overline{A}\), \(\partial A\). \(A\) est-il ouvert ? fermé ?

3 Suites / 3 pts

Dans \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\), soit \(u_n=\left(\tfrac1n,\tfrac n{n+1}\right)\). Montrer que \(u_n\) converge, donner sa limite \(L\), et un entier \(N\) tel que \(n\geq N\Rightarrow\|u_n-L\|_\infty\lt0{,}05\).

4 Continuité et compacité / 4 pts

Soit \(f(x)=xe^{-x}\) sur \([0,3]\).

1. Justifier que \(f\) atteint un maximum et un minimum.

2. Les déterminer.

5 Connexité / 3 pts

Montrer que \(g(x)=x^3+x-1\) s’annule exactement une fois sur \(\mathbb{R}\) et que la racine est dans \([0{,}68;0{,}69]\).

6 Point fixe / 4 pts

Soit \(f(x)=\tfrac12+\tfrac x4\) sur \(\mathbb{R}\), \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1. Montrer que \(f\) est contractante et déterminer son point fixe \(\ell\).

2. Calculer \(u_1,u_2,u_3\) et l’erreur \(|u_3-\ell|\).