Espaces complets et point fixe : contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Suite de Cauchy / 4 pts

Soit \( v_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)} \). Montrer que \( v_n=1-\dfrac1{n+1} \), que \( (v_n) \) est de Cauchy et donner un rang \( N \) tel que \( |v_q-v_p|<10^{-3} \) pour \( p,q\geq N \). Quelle est la limite ?

2 Un point fixe par contraction / 4 pts

Soit \( f(x)=\dfrac1{4+x^2} \) et \( X=[0,\tfrac14] \). Montrer que \( f(X)\subset X \) et que \( f \) est \( \tfrac18 \)-contractante sur \( X \). En déduire que \( x^3+4x-1=0 \) a une unique racine dans \( X \). Combien d’itérations depuis \( x_0=0 \) pour garantir \( 10^{-6} \) ? (calculatrice autorisée)

3 Baire et les rationnels / 4 pts

Montrer que \( \mathbb{Q} \) n’est pas une intersection dénombrable d’ouverts de \( \mathbb{R} \). (Indication : supposer \( \mathbb{Q}=\bigcap_nO_n \) et considérer aussi les ouverts \( \mathbb{R}\setminus\{q_k\} \).)

4 Ascoli / 4 pts

(a) Sur \( [0,2\pi] \), \( A=\{x\mapsto a\sin(bx) : |a|\leq2,\ |b|\leq3\} \) est-elle relativement compacte dans \( C([0,2\pi]) \) ?

(b) Sur \( [0,\pi] \), la famille \( (\sin(nx))_{n\geq1} \) est-elle équicontinue ? A-t-elle une sous-suite uniformément convergente ?

5 Picard pour y’ = 2y / 4 pts

Sur \( C([0,\tfrac14]) \), on pose \( (T\varphi)(t)=1+2\int_0^t\varphi(s)\,ds \). Montrer que \( T \) est \( \tfrac12 \)-contractant, calculer \( \varphi_1 \) et \( \varphi_2 \) depuis \( \varphi_0=1 \), et comparer \( \varphi_2(\tfrac14) \) avec \( e^{1/2} \).