Topologie des espaces métriques : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Distance discrète ★★★

1. Séparation, symétrie et positivité sont immédiates. Pour l’inégalité triangulaire : si \(x=z\), \(d(x,z)=0\leq d(x,y)+d(y,z)\). Si \(x\neq z\), on ne peut avoir à la fois \(x=y\) et \(y=z\), donc \(d(x,y)+d(y,z)\geq1=d(x,z)\).
2. \(B(a,\tfrac12)=\{a\}\) car \(d(a,x)\lt\tfrac12\) force \(d(a,x)=0\). \(B(a,2)=E\) car toutes les distances valent au plus 1.
3. Un singleton \(\{a\}\) est une boule ouverte, donc un ouvert. Toute partie est une réunion de singletons, donc ouverte ; son complémentaire l’est aussi : toute partie est à la fois ouverte et fermée.

2 Calculer trois normes ★★★

\(\|x\|_1=3+4+12=19\). \(\|x\|_2=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\). \(\|x\|_\infty=12\).

On a bien \(12\leq13\leq19\leq36=3\times12\).

3 Ni ouvert ni fermé ★★★

Non ouvert : toute boule \(]1-r,1+r[\) autour de \(1\) contient \(1+\tfrac r2\notin\,]0,1]\). Non fermé : la suite \(\tfrac1n\) est dans \(]0,1]\), converge vers \(0\notin\,]0,1]\) ; le complémentaire \(]-\infty,0]\cup]1,+\infty[\) n’est donc pas ouvert (aucune boule autour de \(0\) n’y reste).

4 Intérieur, adhérence, frontière ★★★

Intérieur : \(\mathring{A}=]-2,1[\,\cup\,]1,4[\) (le point \(1\) n’est pas dans \(A\), le point \(4\) n’est pas intérieur, \(6\) est isolé). Adhérence : \(\overline{A}=[-2,4]\cup\{6\}\) (le point \(1\) est limite de points de \(A\)). Frontière : \(\overline{A}\setminus\mathring{A}=\{-2,1,4,6\}\).

5 Une suite du plan ★★★

\(\|u_n-(0,1)\|_\infty=\max\left(\tfrac1n,\tfrac1{n^2}\right)=\tfrac1n\to0\), donc \(u_n\to(0,1)\).

\(\tfrac1n\lt10^{-2}\iff n\gt100\) : le plus petit entier est \(N=101\).

6 Image réciproque de la valeur absolue ★★★

On a \(\big||x|-|y|\big|\leq|x-y|\) : l’application est 1-lipschitzienne, donc continue. Alors \(\{|x|\gt1\}\) est la préimage de l’ouvert \(]1,+\infty[\), donc ouvert (c’est \(]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[\)). Son complémentaire \([-1,1]\), préimage du fermé \([0,1]\), est fermé.

7 Compact ou non ? ★★★

\([-2,5]\) : fermé borné, compact. \(]0,1]\) : non fermé, pas compact. \(\mathbb{Z}\) : fermé mais non borné, pas compact. \([0,1]\cup\{7\}\) : fermé (réunion finie de fermés) et borné, compact. \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) : borné mais non fermé (\(\tfrac{\sqrt2}{2}\) en est limite), pas compact.

8 Une distance bornée sur R ★★★

1. Sur \([0,+\infty[\), \(\varphi'(x)=\tfrac1{(1+x)^2}\gt0\) ; sur \(]-\infty,0]\), \(\varphi(x)=\tfrac{x}{1-x}\) de dérivée \(\tfrac1{(1-x)^2}\gt0\). Donc \(\varphi\) est strictement croissante, donc injective. Ainsi \(d(x,y)=0\iff\varphi(x)=\varphi(y)\iff x=y\) ; symétrie et inégalité triangulaire viennent de la valeur absolue.
2. \(d(1,3)=\left|\tfrac12-\tfrac34\right|=\tfrac14\). \(d(0,n)=\tfrac{n}{n+1}\).
3. \(|\varphi(x)|\lt1\) pour tout \(x\), donc \(d(0,x)\lt1\) : \(\mathbb{R}=B(0,1)\). L’espace est borné pour \(d\) bien que non borné pour la distance usuelle, ce qui montre que « borné » dépend de la distance.

9 Aires des boules unité ★★★

Norme 1 : losange de sommets \((\pm1,0),(0,\pm1)\), de diagonales 2 et 2 : aire \(\tfrac{2\times2}{2}=2\). Norme 2 : disque d’aire \(\pi\). Norme \(\infty\) : carré \([-1,1]^2\) d’aire \(4\).

\(2\lt\pi\lt4\) et, comme \(\|x\|_\infty\leq\|x\|_2\leq\|x\|_1\), on a \(\|x\|_1\leq1\Rightarrow\|x\|_2\leq1\Rightarrow\|x\|_\infty\leq1\) : losange \(\subset\) disque \(\subset\) carré.

10 Un ouvert du plan ★★★

Les applications \(f(x,y)=x\) et \(g(x,y)=x^2-y\) sont continues sur \(\mathbb{R}^2\). Alors \(U=f^{-1}(]0,+\infty[)\cap g^{-1}(]0,+\infty[)\) est l’intersection de deux ouverts, donc un ouvert. Pour \((1,0)\) : \(x=1\gt0\) et \(1-0=1\gt0\), il est dans \(U\). Pour \((1,1)\) : \(x^2-y=0\), pas strictement positif, il n’est pas dans \(U\) (il est sur la frontière).

11 Un fermé non compact et non connexe ★★★

Fermé : \(F=h^{-1}([1,+\infty[)\) avec \(h(x,y)=xy\) continue. Non compact : les points \((n,1)\) sont dans \(F\) (car \(n\geq1\)) et \(\|(n,1)\|_\infty=n\), donc \(F\) n’est pas borné. Non connexe : \(F\subset\{x\neq0\}\) ; les parties \(F\cap\{x\gt0\}\) et \(F\cap\{x\lt0\}\) sont ouvertes dans \(F\), disjointes, non vides (elles contiennent \((1,1)\) et \((-1,-1)\)) et recouvrent \(F\).

12 Valeurs d’adhérence ★★★

Les termes pairs vérifient \(u_{2k}=1+\tfrac1{2k}\to1\), les termes impairs \(u_{2k+1}=-1+\tfrac1{2k+1}\to-1\). Ces deux limites sont des valeurs d’adhérence, et il n’y en a pas d’autres, car tout terme est proche de \(1\) ou de \(-1\) à partir d’un certain rang. Une suite convergente a pour seule valeur d’adhérence sa limite : \((u_n)\) diverge, bien qu’elle soit bornée (\(|u_n|\leq2\)) et qu’elle ait des sous-suites convergentes, comme le prévoit Bolzano-Weierstrass.

13 L’intervalle ]0,1] n’est pas complet ★★★

Pour \(m\geq n\geq N\), \(\left|\tfrac1n-\tfrac1m\right|\leq\tfrac1n\leq\tfrac1N\), qui tend vers 0 : la suite est de Cauchy. Sa seule limite possible dans \(\mathbb{R}\) est \(0\notin\,]0,1]\) : elle ne converge pas dans \(]0,1]\). Cet espace n’est pas complet, bien que \(\mathbb{R}\) le soit : une partie non fermée d’un complet n’est pas complète.

14 Itérations d’une contraction ★★★

1. \(|f(x)-f(y)|=\tfrac13|x-y|\) : contraction de rapport \(k=\tfrac13\) sur \(\mathbb{R}\) complet. \(f(\ell)=\ell\iff\ell=1+\tfrac\ell3\iff\ell=\tfrac32\).
2. \(u_1=1\), \(u_2=\tfrac43\), \(u_3=\tfrac{13}9\), \(u_4=\tfrac{40}{27}\), \(u_5=\tfrac{121}{81}\approx1{,}494\).
3. \(u_n-\ell=\tfrac13(u_{n-1}-\ell)\) donne \(|u_n-\tfrac32|=\tfrac32\cdot3^{-n}\). On veut \(\tfrac32\cdot3^{-n}\lt10^{-3}\), soit \(3^n\gt1500\) : comme \(3^6=729\) et \(3^7=2187\), il faut \(n=7\).

15 Valeurs intermédiaires et trois racines ★★★

\(p\) est continue et l’image d’un intervalle est un intervalle. \(p(-2)=-1\lt0\) et \(p(-1)=3\gt0\) : une racine dans \([-2,-1]\). \(p(0)=1\gt0\) et \(p(1)=-1\lt0\) : une racine dans \([0,1]\). \(p(1)=-1\lt0\) et \(p(2)=3\gt0\) : une racine dans \([1,2]\). Ces trois intervalles ont au plus un point commun (\(1\), qui n’est pas racine), donc ce sont trois racines distinctes ; un polynôme de degré 3 n’en a pas plus : exactement trois.

16 Réunion, intersection et adhérence ★★★

1. Comme \(A\subset A\cup B\), \(\overline A\subset\overline{A\cup B}\) ; de même pour \(B\), d’où \(\supset\). Réciproquement \(\overline A\cup\overline B\) est un fermé (réunion finie) contenant \(A\cup B\), donc il contient le plus petit fermé \(\overline{A\cup B}\).
2. \(A\cap B\subset A\) donne \(\overline{A\cap B}\subset\overline A\), idem pour \(B\). Pour \(A=\mathbb{Q}\) et \(B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), les deux sont denses : \(\overline A\cap\overline B=\mathbb{R}\), mais \(A\cap B=\varnothing\), d’adhérence vide : inclusion stricte.

17 Normes non équivalentes ★★★

1. \(\|f_n\|_\infty=1\) (atteint en \(x=1\)) et \(\|f_n\|_1=\int_0^1x^n\,dx=\tfrac1{n+1}\).
2. Si \(1\leq c\cdot\tfrac1{n+1}\) pour tout \(n\), alors \(n+1\leq c\) pour tout \(n\), absurde. Les deux normes ne sont pas équivalentes, contrairement au cas de la dimension finie, et la topologie de la norme \(\|\cdot\|_1\) est strictement moins fine que celle de \(\|\cdot\|_\infty\).
3. \(\tfrac1{n+1}\leq0{,}01\iff n\geq99\).

18 Maximum sur un disque ★★★

1. \(D\) est fermé borné de \(\mathbb{R}^2\), donc compact ; \(f\) est continue, donc atteint son maximum et son minimum sur \(D\).
2. Par Cauchy-Schwarz, \(x+2y\leq\sqrt{1+4}\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt5\). Pour \((x,y)=\left(\tfrac1{\sqrt5},\tfrac2{\sqrt5}\right)\in D\), \(f=\tfrac{1+4}{\sqrt5}=\sqrt5\). Le maximum vaut \(\sqrt5\approx2{,}236\), atteint en ce seul point ; le minimum est \(-\sqrt5\).

19 Distance à une partie ★★★

1. \(d(4,A)=\min(|4-3|,|4-5|)=1\) (la borne inférieure des distances à \(]1,3[\) vaut \(1\), sans être atteinte). \(d(3,A)=0\) : \(3\notin A\) mais \(3\) est limite de \(3-\tfrac1n\in A\). \(d(3{,}5;A)=\min(0{,}5;1{,}5)=0{,}5\).
2. Pour \(a\in A\), \(|x-a|\leq|x-y|+|y-a|\), donc \(d(x,A)\leq|x-y|+d(y,A)\) en prenant la borne inférieure ; on échange \(x\) et \(y\). Enfin \(d(x,A)=0\) signifie qu’il existe \(a_n\in A\) avec \(|x-a_n|\to0\), c’est-à-dire \(x\in\overline A\).

20 Point fixe du cosinus ★★★

1. \(\cos\) envoie \([0,1]\) dans \([\cos1,1]\subset[0,1]\), et par accroissements finis \(|\cos x-\cos y|\leq\sin1\cdot|x-y|\) avec \(\sin1\lt1\). \([0,1]\) est complet (fermé de \(\mathbb{R}\)). Le théorème de Banach donne un unique point fixe \(\ell\approx0{,}7391\) et la convergence de \((x_n)\).
2. On cherche \(\tfrac{k^n}{1-k}\cdot0{,}4597\leq10^{-2}\). Avec \(\tfrac{0{,}4597}{1-k}\approx2{,}90\), il faut \(k^n\leq0{,}0034\), c’est-à-dire \(n\geq33\) (la majoration est pessimiste : l’erreur réelle est bien plus petite).

21 R et R² ne sont pas homéomorphes ★★★

Soient \(P,Q\) deux points distincts de \(\mathbb{R}^2\setminus\{O\}\). Si le segment \([P,Q]\) évite \(O\), il fournit un chemin. Sinon \(O\) est sur \([P,Q]\) et on passe par un point \(R\) hors de la droite \((PQ)\) : \([P,R]\) et \([R,Q]\) évitent \(O\), d’où un chemin continu. L’espace est connexe par arcs, donc connexe.

\(\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty,0[\,\cup\,]0,+\infty[\) est une réunion de deux ouverts disjoints non vides : non connexe.

Si \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) était un homéomorphisme, sa restriction établirait un homéomorphisme entre \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) et \(\mathbb{R}^2\setminus\{h(0)\}\), qui conserverait la connexité. Contradiction : \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\) ne sont pas homéomorphes.