21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Mesures d’intervalles ★★★
Calculer \(\lambda\big([2,5]\cup]7,9[\big)\) puis \(\lambda(\{1,2,3\})\) et \(\lambda(\mathbb{N})\).
2 Tribu engendrée ★★★
Sur \(X=\{1,2,3,4\}\), déterminer la tribu engendrée par \(A=\{1,2\}\).
3 Combinaison de mesures de Dirac ★★★
Soit \(\mu=3\delta_1+2\delta_4\) sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(\mu([0,2])\), \(\mu([1,4])\), \(\mu(]1,4[)\) et \(\mu(\mathbb{R})\).
4 Intégrale d’une fonction étagée ★★★
Calculer \(\int f\,d\lambda\) pour \(f=2\cdot\mathbf{1}_{[0,1[}+5\cdot\mathbf{1}_{[1,4[}+3\cdot\mathbf{1}_{[4,6]}\).
5 Rationnels et intégrale ★★★
Calculer \(\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,d\lambda\) puis \(\int_{[0,1]}(x+\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x))\,d\lambda(x)\).
6 Égalité presque partout ★★★
Soit \(f(x)=x^2\) sauf aux points \(0\), \(\tfrac12\) et \(\tfrac13\) où \(f\) vaut 7. Calculer \(\int_{[0,1]}f\,d\lambda\).
7 Vrai ou faux ? ★★★
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant. (a) Toute réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable. (b) \(\lambda(]0,1[)=\lambda([0,1])\). (c) Toute fonction Lebesgue-intégrable sur \(]0,1]\) est bornée.
8 Continuité des mesures ★★★
(a) Pour \(A_n=[0,1-\tfrac1n]\) (\(n\ge2\)), calculer \(\lambda(\bigcup A_n)\) et \(\lim\lambda(A_n)\). (b) Pour \(B_n=[n,+\infty[\), comparer \(\lambda(\bigcap B_n)\) et \(\lim\lambda(B_n)\). Que constater ?
9 Un ouvert dense de petite mesure ★★★
On numérote \(\mathbb{Q}\cap[0,1]=\{q_1,q_2,\dots\}\) et on pose \(O=\bigcup_{k\ge1}\,]q_k-\tfrac{\varepsilon}{2^{k+1}},\,q_k+\tfrac{\varepsilon}{2^{k+1}}[\) avec \(\varepsilon=0{,}1\). Montrer que \(\lambda(O)\le0{,}1\), que \(O\) contient les rationnels de \([0,1]\), et que \([0,1]\setminus O\) n’est pas négligeable.
10 Fonction partie entière ★★★
Montrer que \(x\mapsto\lfloor x\rfloor\) est mesurable et calculer \(\int_{[0,3[}\lfloor x\rfloor\,d\lambda\).
11 Convergence monotone et puissance ★★★
Calculer \(\int_{]0,1]}x^{-1/3}\,d\lambda\) en utilisant \(f_n=x^{-1/3}\mathbf{1}_{[1/n,1]}\).
12 Intégration terme à terme d’une série ★★★
Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}\,dx=\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\), valeur égale à \(\dfrac{\pi^2}{6}\) (admise pour la somme).
13 Limite d’une intégrale sur [0,1] ★★★
Déterminer \(\lim_{n\to\infty}\int_0^1\big(1+\tfrac xn\big)^n\,dx\).
14 Fatou et masse qui s’échappe ★★★
Soit \(f_n=\mathbf{1}_{[n,n+1]}\). Calculer \(\int f_n\), \(\liminf f_n\) et vérifier Fatou. Le théorème de convergence dominée s’applique-t-il ?
15 Convergence dominée avec un sinus ★★★
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}\frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}\,dx\).
16 La limite de (1 − x/n)^n ★★★
Soit \(f_n(x)=\big(1-\tfrac xn\big)^n\mathbf{1}_{[0,n]}(x)\). Montrer que \(\int_0^{+\infty}f_n\to1\) par convergence dominée, puis vérifier avec le calcul exact.
17 Pas de domination possible ★★★
Soit \(f_n=n\,\mathbf{1}_{]0,1/n[}\) sur \(]0,1]\). Montrer que \(\sup_nf_n\) n’est pas intégrable ; conclure sur l’usage de la convergence dominée.
18 Un ensemble de Cantor de mesure positive ★★★
À l’étape \(n\ge1\), on retire de chaque intervalle restant un intervalle ouvert central de sorte que l’on retire en tout \(2^{n-1}\) intervalles de longueur \(4^{-n}\) (on admet que cela reste possible). Calculer la mesure de l’ensemble \(K\) obtenu. Peut-il contenir un intervalle ?
19 Fatou et suites bornées en intégrale ★★★
Soit \(f_n\ge0\) mesurables avec \(f_n\to f\) presque partout et \(\int f_n\le M\) pour tout \(n\). Montrer que \(\int f\le M\). Application : \(f_n(x)=(n+1)x^n\) sur \([0,1]\).
20 Mesure à densité ★★★
Pour \(A\in\mathcal{B}([0,1])\), on pose \(\nu(A)=\int_A2x\,d\lambda(x)\). Montrer que \(\nu\) est une mesure, puis calculer \(\nu([0,1])\), \(\nu([0,\tfrac12])\) et \(\nu(\{x\})\).
21 Riemann impropre et Lebesgue ★★★
Montrer que \(x\mapsto\dfrac{\sin x}{x}\) n’est pas Lebesgue-intégrable sur \(]0,+\infty[\), alors que son intégrale de Riemann impropre converge (vers \(\pi/2\), admis).
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