Séries entières : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un premier rayon ★★★

Déterminer le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{2^n}{n+1}x^n\).

2 Un polynôme au numérateur ★★★

Déterminer le rayon de \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{n+1}{4^n}x^n\).

3 Exponentielle déguisée ★★★

1) Montrer que \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{3^n}{n!}x^n\) a un rayon infini.

2) Reconnaître sa somme et calculer cette somme en \(x=\tfrac13\).

4 Rayon nul ★★★

Déterminer le rayon de a) \(\sum n!\,x^n\) ; b) \(\sum n^n x^n\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

La série \(\sum a_nx^n\) a pour rayon \(3\). Dire si chaque affirmation est vraie, fausse ou indéterminée, en justifiant.

1. Elle converge absolument en \(x=-2{,}5\).
2. Elle diverge en \(x=3{,}5\).
3. Elle converge en \(x=3\).
4. Si \(\sum a_n2^n\) converge, alors \(R\ge2\).

6 Une somme géométrique alternée ★★★

Pour quels \(x\) la série \(\sum_{n\ge0}(-1)^n\dfrac{x^n}{3^n}\) converge-t-elle ? Calculer sa somme en \(x=1\).

7 Développer l’exponentielle de 2x ★★★

1) Écrire le développement en série entière de \(e^{2x}\).

2) En déduire les valeurs de \(\sum_{n\ge0}\dfrac{2^n}{n!}\) et \(\sum_{n\ge0}\dfrac{(-2)^n}{n!}\).

8 Une série lacunaire ★★★

Déterminer le rayon de \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{n^2+1}{3^n}x^{2n}\) et étudier la convergence en \(x=\sqrt3\).

9 Étude du bord ★★★

Déterminer le domaine réel de convergence de \(\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n\,2^n}\).

10 Produit de Cauchy ★★★

1) Calculer le produit de Cauchy de \(\sum x^n\) par elle-même.

2) En déduire \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{n+1}{2^n}\) puis \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{n}{2^n}\).

11 Durée d’une partie de dés ★★★

On lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un six. Soit \(X\) le rang du premier six : \(P(X=n)=\left(\tfrac56\right)^{n-1}\tfrac16\). En dérivant \(\sum_{n\ge0}x^n\), calculer l’espérance \(E(X)=\sum_{n\ge1}nP(X=n)\).

12 Un logarithme par intégration ★★★

1) Montrer que \(\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}{n}\) pour \(|x|<1\).

2) Calculer \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n2^n}\) et \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n3^n}\).

13 Fractions partielles ★★★

Développer en série entière \(f(x)=\dfrac1{(1-x)(1-2x)}\) et donner le rayon.

14 Équation avec second membre ★★★

Résoudre par séries entières \(y'=2y+1\), \(y(0)=0\), puis reconnaître la solution.

15 Calculer un sinus à la main ★★★

Calculer une valeur approchée de \(\sin(0{,}2)\) avec trois termes du développement et majorer l’erreur.

16 Coefficients binomiaux centraux ★★★

Soit \(a_n=\dbinom{2n}{n}\). 1) Déterminer le rayon de \(\sum a_nx^n\). 2) Étudier la convergence en \(x=\tfrac14\) puis en \(x=-\tfrac14\). On pourra utiliser \(\dbinom{2n}{n}\ge\dfrac{4^n}{2n+1}\) et \(u_n=\dfrac{a_n}{4^n}=\prod_{k=1}^n\dfrac{2k-1}{2k}\).

17 Cauchy–Hadamard ★★★

Déterminer le rayon de \(\sum\left(1+\dfrac1n\right)^{n^2}x^n\) (\(n\ge1\)).

18 Série de l’arctangente ★★★

1) Développer \(\arctan x\) en série entière à partir de sa dérivée.

2) En déduire \(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}\).

19 Développer cos² ★★★

Développer \(\cos^2x\) en série entière. Donner le rayon et le coefficient de \(x^6\).

20 Un sinus hyperbolique par récurrence ★★★

Résoudre par séries entières \(y''-4y=0\) avec \(y(0)=0\) et \(y'(0)=2\). Identifier la solution.

21 Une équation à solution non élémentaire ★★★

Chercher la solution de \(y'=xy+1\), \(y(0)=0\) sous forme de série entière : donner la récurrence, les quatre premiers termes non nuls et le terme général.

22 Rayon et substitution ★★★

Soit \(R\) le rayon de \(\sum a_nx^n\) (\(0\lt R<+\infty\)). 1) Montrer que \(\sum a_nx^{2n}\) a pour rayon \(\sqrt R\). 2) En déduire le rayon de \(\sum\dbinom{2n}{n}x^{2n}\).