Suites et séries de fonctions : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

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Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

Pour \( x\in\mathbb{R} \), \( f_n(x)=x\,e^{-nx^2} \).

Déterminer la limite simple de \( (f_n) \). (1 pt)
Étudier \( f_n \) sur \( [0,+\infty[ \) et calculer \( \|f_n\|_\infty \) (on remarquera que \( f_n \) est impaire). (2 pts)
Conclure sur la convergence uniforme sur \( \mathbb{R} \). (1 pt)

Pour \( x\in[0,1] \), \( h_n(x)=\dfrac1{1+nx} \).

Trouver la limite simple \( h \). (1 pt)
La convergence est-elle uniforme sur \( [0,1] \) ? Justifier. (1 pt)
Montrer qu’elle est uniforme sur \( [\tfrac1{10},1] \) et donner \( \|h_n-h\|_\infty \) sur cet intervalle. (1 pt)

Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{\cos(nx)}{n^2+1} \).

Montrer que la série converge normalement sur \( \mathbb{R} \) et que \( S \) est continue. (2 pts)
Calculer \( \displaystyle\int_0^\pi S(x)\,dx \) en justifiant l’intégration terme à terme. (2 pts)

On considère \( T(x)=\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{n!} \) sur \( [0,1] \).

Montrer la convergence normale sur \( [0,1] \). (1 pt)
En intégrant terme à terme et sachant que \( T(x)=e^x \), en déduire \( \displaystyle\sum_{k\ge1}\frac1{k!} \). (2 pts)

On étudie deux suites sur \( \mathbb{R} \).

\( a_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}{n^2} \) : montrer que \( a_n\to 0 \) et \( a_n'\to 0 \) uniformément, puis conclure avec le théorème de dérivation. (1,5 pt)
\( b_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt n} \) : montrer que \( b_n\to 0 \) uniformément mais que \( b_n'(0)\to+\infty \). Que peut-on en conclure ? (1,5 pt)

Répondre par vrai ou faux en justifiant brièvement.

Si \( f_n\to f \) uniformément sur \( [0,1] \) avec \( f_n \) continues, alors \( \int_0^1 f_n\to\int_0^1 f \). (1 pt)
Si \( f_n\to f \) simplement avec \( f_n \) continues, alors \( f \) est continue. (1 pt)
La série \( \sum\dfrac{x^n}n \) converge normalement sur \( [-1,1] \). (1 pt)

Entraîne-toi : défi express de Licence L2