Suites et séries de fonctions : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Fonction qui se raidit ★★★

a) Pour \( x\gt 0 \), \( f_n(x)=1-\dfrac1{1+nx}\to 1 \) ; pour \( x=0 \), \( f_n(0)=0 \). Donc \( f(0)=0 \) et \( f(x)=1 \) si \( x\gt 0 \).

b) Les \( f_n \) sont continues et \( f \) ne l’est pas en 0 : la convergence n’est pas uniforme (contraposée du théorème de continuité).

c) Pour \( x\ge\tfrac12 \) : \( 0\le 1-f_n(x)=\dfrac1{1+nx}\le\dfrac1{1+n/2}=\dfrac2{n+2} \), qui tend vers 0. Donc \( \|f_n-f\|_\infty\le \dfrac{2}{n+2}\to 0 \) : convergence uniforme sur \( [\tfrac12,+\infty[ \).

2 Exponentielle décroissante ★★★

a) Pour \( x\gt 0 \), \( e^{-nx}\to 0 \) : limite simple nulle.

b) Avec \( x_n=\ln 2/n \), \( g_n(x_n)=e^{-\ln 2}=\tfrac12 \) ne tend pas vers 0 : \( \|g_n\|_\infty\ge\tfrac12 \), pas de convergence uniforme.

c) La fonction \( g_n \) est décroissante, donc \( \|g_n\|_\infty=g_n(\tfrac15)=e^{-n/5} \). On veut \( e^{-n/5}\le 10^{-2} \), c’est-à-dire \( n\ge 5\ln 100\approx 23{,}03 \). Rang \( n=24 \) : \( e^{-4{,}8}\approx 0{,}0082 \le 0{,}01 \), alors que \( n=23 \) donne \( e^{-4{,}6}\approx 0{,}0101 \gt 0{,}01 \).

3 Un rang explicite ★★★

La fonction \( x\mapsto x^n \) est croissante sur \( [0;0{,}8] \) : \( \|f_n\|_\infty=0{,}8^n \). On cherche \( 0{,}8^n\le 10^{-3} \), soit \( n\ge\dfrac{\ln 10^{-3}}{\ln 0{,}8}=\dfrac{-6{,}9078}{-0{,}2231}\approx 30{,}96 \).

Réponse : \( N=31 \) (\( 0{,}8^{31}\approx 9{,}9\times10^{-4} \) alors que \( 0{,}8^{30}\approx 1{,}24\times 10^{-3} \)). Comme la suite \( 0{,}8^n \) décroît, la condition reste vraie pour \( n\ge 31 \).

4 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \( |f_n(x)-f(x)|\le\|f_n-f\|_\infty\to 0 \) pour chaque \( x \).

b) Faux : \( f_n(x)=x^n \) sur \( [0,1] \) est continue mais sa limite simple vaut 0 sur \( [0,1[ \) et 1 en 1.

c) Vrai : c’est la même propriété que a), avec \( x=x_0 \).

5 Un sinus qui s’étire ★★★

a) Pour \( x\in[0,10] \), \( |\sin(x/n)|\le x/n\le 10/n \) (car \( |\sin t|\le|t| \)). Donc \( \|h_n\|_\infty\le 10/n\to 0 \).

b) Pour \( x_n=n\pi/2 \), \( h_n(x_n)=\sin(\pi/2)=1 \). Ainsi \( \|h_n\|_{\infty,\mathbb{R}}\ge 1 \) pour tout \( n \) : pas de convergence uniforme sur \( \mathbb{R} \), bien que la limite simple soit nulle.

6 Série de cosinus ★★★

a) \( |\cos(nx)/n^3|\le 1/n^3 \), terme général d’une série convergente : convergence normale (critère de Weierstrass). Les termes sont continus, donc \( S \) l’est.

b) \( |S(x)-S_N(x)|\le\sum_{k\gt N}\dfrac1{k^3}\le\int_N^{+\infty}\dfrac{dt}{t^3}=\dfrac1{2N^2} \) (comparaison série-intégrale, \( t\mapsto t^{-3} \) décroissante).

c) On veut \( \dfrac1{2N^2}\le 10^{-3} \), soit \( N^2\ge 500 \). Comme \( 22^2=484\lt 500\le 529=23^2 \), on prend \( N=23 \).

7 Série entière sur le segment ★★★

a) \( \|x^n/n^2\|_{\infty,[-1,1]}=1/n^2 \) et \( \sum 1/n^2 \) converge : convergence normale.

b) Chaque terme est continu et la convergence est uniforme : \( S \) est continue sur \( [-1,1] \). On a \( S(0)=0 \) (tous les termes sont nuls) et \( |S(x)|\le\sum 1/n^2=\pi^2/6\approx 1{,}645 \). On sait même que \( S(1)=\pi^2/6 \) et \( S(-1)=-\pi^2/12\approx-0{,}822 \).

8 Un pic qui s’amincit ★★★

a) Pour \( x\neq 0 \), \( f_n(x)\sim\dfrac{1}{nx}\to 0 \) ; \( f_n(0)=0 \). Limite nulle.

b) Posons \( t=nx \) : \( f_n(x)=\dfrac t{1+t^2}\le\dfrac12 \) (car \( 1+t^2\ge 2|t| \)), avec égalité pour \( t=1 \), c’est-à-dire \( x=1/n \). Donc \( \|f_n\|_\infty=\tfrac12 \) ne tend pas vers 0 : pas de convergence uniforme sur \( \mathbb{R} \) (ni sur \( [0,1] \)).

c) Pour \( x\ge a \) : \( 0\le f_n(x)\le\dfrac{nx}{n^2x^2}=\dfrac1{nx}\le\dfrac1{na}\to 0 \) : convergence uniforme sur \( [a,+\infty[ \).

9 Borne par étude de fonction ★★★

a) \( f_n'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n=x^{n-1}\bigl(n-(n+1)x\bigr) \). La dérivée est positive sur \( [0,\tfrac n{n+1}] \) puis négative : maximum en \( x=\dfrac n{n+1} \) et \( \|f_n\|_\infty=\left(\dfrac n{n+1}\right)^n\dfrac1{n+1} \).

b) Comme \( \dfrac n{n+1}\lt 1 \), \( \left(\dfrac n{n+1}\right)^n\le 1 \) donc \( \|f_n\|_\infty\le\dfrac1{n+1}\to 0 \) : convergence uniforme vers 0.

c) \( \|f_3\|_\infty=\left(\dfrac34\right)^3\cdot\dfrac14=\dfrac{27}{256}\approx 0{,}1055 \).

10 Dérivées qui divergent ★★★

a) \( \|f_n\|_\infty\le 1/n\to 0 \).

b) \( f_n'(x)=\cos(nx) \). En \( x=0 \) : \( f_n'(0)=1\to 1 \). En \( x=\pi \) : \( f_n'(\pi)=(-1)^n \) diverge. Les dérivées ne convergent donc pas simplement vers la dérivée \( 0 \) de la limite.

c) La convergence uniforme des \( f_n \) ne suffit pas pour dériver : il faut celle de \( (f_n') \). Ici \( (f_n') \) ne converge même pas simplement.

11 Intégrale qui ne passe pas à la limite ★★★

a) Pour \( x=0 \) ou \( x=1 \), \( f_n(x)=0 \). Pour \( 0\lt x\lt 1 \), \( 0\lt 1-x^2\lt 1 \) et \( n\,q^n\to 0 \) avec \( q=1-x^2 \) (croissance comparée). Limite nulle.

b) Avec \( u=1-x^2 \), \( du=-2x\,dx \) : \( I_n=\dfrac n2\int_0^1 u^n\,du=\dfrac n{2(n+1)}\to\dfrac12 \).

c) La limite des intégrales (\( \tfrac12 \)) diffère de l’intégrale de la limite (0). Comme les \( f_n \) sont continues sur un segment, le théorème d’intégration serait contredit si la convergence était uniforme : elle ne l’est pas.

12 Alternée non normale ★★★

a) \( \|u_n\|_\infty=\sup_x\dfrac1{n+x^2}=\dfrac1n \) (en \( x=0 \)) ; la série harmonique diverge : pas de convergence normale.

b) Pour chaque \( x \), la suite \( 1/(n+x^2) \) décroît vers 0 : le critère des séries alternées donne la convergence et \( |R_n(x)|\le\dfrac1{n+1+x^2}\le\dfrac1{n+1} \). Donc \( \|R_n\|_\infty\le\dfrac1{n+1}\to 0 \) : convergence uniforme.

c) Les termes sont continus et la convergence est uniforme : \( S \) est continue sur \( \mathbb{R} \). La convergence uniforme n’est donc pas équivalente à la convergence normale.

13 Sommes partielles de l’exponentielle ★★★

a) Les \( P_n \) sont continues ; pour \( x\ge 0 \), \( P_{n+1}(x)-P_n(x)=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\ge 0 \) : suite croissante. La limite simple \( e^x \) est continue et \( [0,1] \) est un segment : Dini donne la convergence uniforme.

b) Taylor-Lagrange à l’ordre \( n \) en 0 : \( e^x-P_n(x)=\dfrac{e^{c}x^{n+1}}{(n+1)!} \) pour un \( c\in[0,x] \), donc \( 0\le e^x-P_n(x)\le\dfrac{e}{(n+1)!} \) sur \( [0,1] \).

c) \( e/6!\approx 3{,}8\times10^{-3} \), \( e/7!\approx 5{,}4\times10^{-4} \), \( e/8!\approx 6{,}7\times10^{-5} \le 10^{-4} \). Le plus petit \( n \) est donc \( n+1=8 \), soit \( n=7 \).

14 Une intégrale de série ★★★

Sur \( [0,\tfrac12] \), \( \|x^n\|_\infty=2^{-n} \) : la série converge normalement, donc uniformément ; les termes sont continus sur un segment, on peut intégrer terme à terme.

\( \displaystyle\int_0^{1/2}\sum_{n\ge1}x^n\,dx=\sum_{n\ge1}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}=\sum_{k\ge2}\frac1{k\,2^k} \).

Directement, \( \sum_{n\ge1}x^n=\dfrac x{1-x}=\dfrac1{1-x}-1 \), d’où \( \displaystyle\int_0^{1/2}\!\left(\frac1{1-x}-1\right)dx=\Bigl[-\ln(1-x)-x\Bigr]_0^{1/2}=\ln 2-\dfrac12\approx 0{,}1931 \).

15 Somme d’une série de fractions ★★★

a) \( 0\lt\dfrac1{n^2+x^2}\le\dfrac1{n^2} \) : Weierstrass donne la convergence normale. Les termes sont continus, donc \( S \) est continue.

b) Chaque terme est pair, donc \( S \) aussi. Chaque terme est décroissant sur \( [0,+\infty[ \), donc \( S \) aussi (somme de fonctions décroissantes).

c) \( S(0)=\sum 1/n^2=\pi^2/6\approx 1{,}645 \). Par b), \( 0\lt S(x)\le\pi^2/6 \) pour tout réel \( x \).

16 Convergence par morceaux ★★★

a) Si \( 0\le x\lt 1 \), \( x^n\to 0 \) donc \( f_n(x)\to 0 \). Si \( x=1 \), \( f_n(1)=\tfrac12 \). Si \( x\gt 1 \), \( x^n\to+\infty \) et \( f_n(x)=1-\dfrac1{1+x^n}\to 1 \).

b) Les \( f_n \) sont continues et \( f \) présente un saut en 1 : la convergence n’est pas uniforme sur \( [0,2] \).

c) Sur \( [0,\tfrac34] \) : \( 0\le f_n\le x^n\le(\tfrac34)^n\to 0 \). Sur \( [\tfrac32,2] \) : \( 0\le 1-f_n(x)=\dfrac1{1+x^n}\le\dfrac1{1+(3/2)^n}\le(\tfrac23)^n\to 0 \). Les deux convergences sont uniformes.

17 Une série dérivable ★★★

a) \( |\sin(nx)/n^3|\le 1/n^3 \) : convergence normale sur \( \mathbb{R} \), donc \( S \) est définie et continue.

b) Les termes \( u_n(x)=\sin(nx)/n^3 \) sont \( C^1 \) et \( u_n'(x)=\dfrac{\cos(nx)}{n^2} \), avec \( |u_n'|\le 1/n^2 \) : \( \sum u_n' \) converge normalement, donc uniformément, sur \( \mathbb{R} \). Comme \( \sum u_n \) converge simplement, le théorème de dérivation donne \( S\in C^1 \) et \( S'(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{\cos(nx)}{n^2} \).

c) \( S'(0)=\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6 \).

18 Série sans convergence uniforme ★★★

a) \( u_n'(x)=e^{-nx}(1-nx) \) : maximum en \( x=1/n \), donc \( \|u_n\|_\infty=\dfrac1{ne} \). La série \( \sum\dfrac1{ne} \) diverge : pas de convergence normale.

b) Pour \( x\gt 0 \), série géométrique de raison \( e^{-x} \) : \( S(x)=\dfrac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}=\dfrac x{e^x-1} \). Pour \( x=0 \), tous les termes sont nuls : \( S(0)=0 \).

c) \( R_n(x)=\sum_{k\gt n}xe^{-kx}=\dfrac{xe^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}=\dfrac{x}{e^x-1}\,e^{-nx} \) pour \( x\gt 0 \). Quand \( x\to 0^+ \), \( \dfrac x{e^x-1}\to 1 \) et \( e^{-nx}\to 1 \) : \( R_n(x)\to 1 \). Donc \( \|R_n\|_\infty\ge 1 \) (autrement dit \( S \) est discontinue en 0, alors que les \( u_n \) sont continues) : pas de convergence uniforme sur \( [0,+\infty[ \).

d) Comme \( e^x-1\ge x \), on a \( \dfrac x{e^x-1}\le 1 \) et, pour \( x\ge a \), \( 0\le R_n(x)\le e^{-nx}\le e^{-na}\to 0 \) : convergence uniforme sur \( [a,+\infty[ \).

19 Bernstein à la main ★★★

a) \( B_2(f)(x)=0\cdot(1-x)^2+\tfrac14\cdot 2x(1-x)+1\cdot x^2=\dfrac{x(1-x)}2+x^2 \), ce qui correspond à la formule pour \( n=2 \).

b) \( B_n(f)(x)-f(x)=\dfrac{x(1-x)}n \). Le maximum de \( x(1-x) \) sur \( [0,1] \) vaut \( \tfrac14 \) en \( x=\tfrac12 \) : \( \|B_n(f)-f\|_\infty=\dfrac1{4n} \).

c) \( \dfrac1{4n}\le 0{,}01\iff n\ge 25 \). Il suffit donc de \( n=25 \).

20 Moments nuls ★★★

Par linéarité, \( \int_0^1 f(t)P(t)\,dt=0 \) pour tout polynôme \( P \). Par le théorème de Weierstrass, il existe des polynômes \( P_n \) avec \( \|P_n-f\|_\infty\to 0 \). Alors
\[ \int_0^1 f^2=\int_0^1 f(f-P_n)+\int_0^1 fP_n=\int_0^1 f(f-P_n), \quad\text{donc}\quad \int_0^1 f^2\le\|f\|_\infty\,\|f-P_n\|_\infty\to 0 . \]
Ainsi \( \int_0^1 f^2=0 \). Comme \( f^2 \) est continue et positive, elle est nulle sur \( [0,1] \) (sinon son intégrale serait strictement positive), donc \( f=0 \).

21 Les hypothèses de Dini ★★★

a) Pour \( x\gt 0 \), \( f_n(x)\downarrow 0 \) (limite continue). Mais \( \|f_n\|_\infty=\sup_{x\in]0,1]}\dfrac1{1+nx}=1 \) (borne approchée quand \( x\to 0^+ \)) : pas de convergence uniforme.

b) La limite simple est 0, \( [0,1] \) est compact, mais \( g_n(1/n)=1/e \) pour tout \( n \) : \( \|g_n\|_\infty\ge 1/e \). La suite n’est pas monotone : en \( x=\tfrac12 \), \( g_1=0{,}303 \), \( g_2=0{,}368 \), \( g_3=0{,}335 \) (croît puis décroît).

c) La suite \( x^n \) décroît en \( n \) pour chaque \( x\in[0,1] \), mais la limite est discontinue en 1 : la convergence n’est pas uniforme.

22 Une limite non dérivable ★★★

a) \( x^2+\tfrac1n\gt 0 \), donc \( f_n \) est \( C^1 \) comme composée. Pour tout \( x \) : \( 0\le f_n(x)-|x|=\dfrac{1/n}{f_n(x)+|x|}\le\dfrac{1/n}{\sqrt{1/n}}=\dfrac1{\sqrt n} \) (car \( f_n(x)\ge\sqrt{1/n} \)). Donc \( \|f_n-|x|\|_\infty\le 1/\sqrt n\to 0 \).

b) La limite \( |x| \) n’est pas dérivable en 0 (limite uniforme de fonctions \( C^1 \) sans être \( C^1 \)). Cela ne contredit pas le théorème : \( f_n'(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1/n}} \) converge simplement vers \( \mathrm{sgn}(x) \), discontinue, donc la convergence des dérivées n’est pas uniforme (une limite uniforme de fonctions continues serait continue).