Séries numériques : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Somme d’une série géométrique ★★★

On considère \(\sum_{n\ge0}\left(\frac23\right)^n\).

1. Calcule \(S_3\).
2. Donne \(S_N\) en fonction de \(N\), puis la somme de la série.

2 Divergence grossière ou pas ? ★★★

Pour chaque série, dis si le critère du terme général permet de conclure.

1. \(\sum\frac{2n+1}{3n+5}\)
2. \(\sum(-1)^n\)
3. \(\sum\frac1{n+3}\)

3 Séries de Riemann ★★★

Donne la nature de : \(\sum\frac1{n^3}\), \(\sum\frac1{\sqrt n}\), \(\sum n^{-5/4}\), \(\sum n^{-0{,}99}\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Justifie chaque réponse.

1. Si \(u_n\to0\), alors \(\sum u_n\) converge.
2. Si \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n\to0\).
3. Si \(\sum|u_n|\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
4. Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) divergent, alors \(\sum(u_n+v_n)\) diverge.

5 Un équivalent simple ★★★

Étudie la nature de \(\sum\frac{3n^2+1}{n^4+n}\) et de \(\sum\frac{5n+2}{n^2-3}\) (\(n\ge2\)).

6 Rapport de d’Alembert ★★★

Étudie \(\sum\frac{5^n}{n!}\), dont les premiers termes sont représentés ci-dessous. Pour quelles valeurs de \(n\) le terme est-il maximal ?

7 La balle qui rebondit ★★★

Une balle est lâchée d’une hauteur de \(2\) m. À chaque rebond, elle remonte aux \(60\ \%\) de la hauteur précédente. Quelle distance totale parcourt-elle avant de s’arrêter, en supposant les rebonds infiniment nombreux ?

8 Un télescopage ★★★

Montre que \(\sum_{n\ge1}\frac1{n(n+2)}\) converge et calcule sa somme.

9 Comparaison ★★★

Étudie la nature de : a) \(\sum\frac1{n^2+n+3}\) ; b) \(\sum\frac{\ln n}n\) ; c) \(\sum\frac1{2^n+n}\).

10 Équivalents classiques ★★★

Étudie \(\sum\ln\left(1+\frac1{n^2}\right)\) et \(\sum\sin\left(\frac1{\sqrt n}\right)\).

11 Règle de Cauchy ★★★

Étudie \(\sum\left(\frac n{2n+1}\right)^n\) et \(\sum\left(1+\frac1n\right)^{n^2}\).

12 Convergence absolue ★★★

Les séries suivantes sont-elles convergentes ? absolument convergentes ? a) \(\sum\frac{(-1)^n}{n^2}\) ; b) \(\sum\frac{\cos(3n)}{n^3}\) ; c) \(\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}n\).

13 Précision d’une somme alternée ★★★

On admet que \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4\). Quel indice \(N\) minimal garantit que \(S_N\) approche \(\frac\pi4\) à moins de \(10^{-3}\) ?

14 Produit de Cauchy de deux géométriques ★★★

Soit \(x=\frac12\). Calcule le produit de Cauchy de \(\sum x^n\) par elle-même, puis déduis-en la valeur de \(\sum_{n\ge0}\frac{n+1}{2^n}\).

15 Quand d’Alembert ne répond pas ★★★

Calcule la limite du rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) pour \(u_n=\frac1n\) puis \(u_n=\frac1{n^2}\). Que conclure sur la règle de d’Alembert ?

16 Série à paramètre ★★★

Pour \(a>0\), on pose \(u_n=\frac{a^nn!}{n^n}\). Discute selon \(a\) la nature de \(\sum u_n\), y compris le cas \(a=e\). On rappelle que \(\left(1+\frac1n\right)^n

17 Comparaison série-intégrale ★★★

Pour \(n\ge2\), étudie \(\sum\frac1{n\ln n}\) et \(\sum\frac1{n(\ln n)^2}\) à l’aide de la fonction \(x\mapsto\frac1{x\ln x}\) et d’une primitive de \(\frac1{x(\ln x)^2}\).

18 Un contre-exemple alterné ★★★

Pour \(n\ge2\), on pose \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}\). Montre que \(u_n-\frac{(-1)^n}{\sqrt n}=-\frac1{\sqrt n(\sqrt n+(-1)^n)}\), puis que \(\sum u_n\) diverge. Pourquoi cela ne contredit-il pas l’équivalence \(u_n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) ?

19 Un produit de Cauchy divergent ★★★

Soit \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\). La série \(\sum a_n\) converge. Montre que son produit de Cauchy par elle-même diverge, en prouvant que \(|c_n|\ge1\) pour tout \(n\).

20 Reste de la série de Riemann d’exposant 2 ★★★

Montre que \(\frac1{N+1}\le R_N\le\frac1N\) pour \(R_N=\sum_{n>N}\frac1{n^2}\). Combien de termes suffit-il de sommer pour approcher \(\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\) à \(10^{-2}\) près ?