Suites et séries de fonctions : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Sup d’une gaussienne tordue / 4 pts

a) Pour \( x\neq 0 \), \( xe^{-nx^2}\to 0 \) ; pour \( x=0 \), \( f_n(0)=0 \). Limite nulle. (1 pt)

b) \( f_n'(x)=e^{-nx^2}(1-2nx^2) \) s’annule en \( x=1/\sqrt{2n} \) : positive avant, négative après, maximum sur \( [0,+\infty[ \) égal à \( \dfrac1{\sqrt{2n}}e^{-1/2} \). Par imparité, \( \|f_n\|_\infty=\dfrac{e^{-1/2}}{\sqrt{2n}} \). (2 pts)

c) \( \|f_n\|_\infty\to 0 \) : la convergence est uniforme sur \( \mathbb{R} \). (1 pt)

2 Une singularité en zéro / 3 pts

a) \( h(0)=1 \) et \( h(x)=0 \) pour \( x\in]0,1] \). (1 pt)

b) Les \( h_n \) sont continues et \( h \) est discontinue en 0 : pas de convergence uniforme sur \( [0,1] \). (1 pt)

c) Sur \( [\tfrac1{10},1] \), \( h_n \) est décroissante, donc \( \|h_n-h\|_\infty=h_n(\tfrac1{10})=\dfrac1{1+n/10}=\dfrac{10}{10+n}\to 0 \) : convergence uniforme. (1 pt)

3 Série de cosinus et intégrale / 4 pts

a) \( \left|\dfrac{\cos(nx)}{n^2+1}\right|\le\dfrac1{n^2+1}\le\dfrac1{n^2} \) : convergence normale (Weierstrass). Les termes étant continus, \( S \) est continue. (2 pts)

b) La convergence est uniforme et les termes sont continus sur le segment \( [0,\pi] \) : on intègre terme à terme (1 pt). \( \displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n^2+1}dx=\frac{\sin(n\pi)}{n(n^2+1)}=0 \) pour tout \( n\ge1 \), donc \( \int_0^\pi S=0 \). (1 pt)

4 Série exponentielle et intégrale / 3 pts

a) \( \|x^n/n!\|_{\infty,[0,1]}=1/n! \) et \( \sum 1/n! \) converge (comparaison avec une série géométrique, ou règle de d’Alembert). (1 pt)

b) Intégration terme à terme autorisée (convergence uniforme, termes continus) : \( \displaystyle\int_0^1 e^x dx=\sum_{n\ge0}\int_0^1\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n\ge0}\frac1{(n+1)!}=\sum_{k\ge1}\frac1{k!} \) (1 pt). Or \( \int_0^1 e^x dx=e-1 \), donc \( \sum_{k\ge1}\frac1{k!}=e-1\approx 1{,}718 \). (1 pt)

5 Dérivation et sinus rapides / 3 pts

a) \( \|a_n\|_\infty\le 1/n^2\to 0 \) et \( a_n'(x)=\dfrac{\cos(nx)}{n} \) donc \( \|a_n'\|_\infty\le 1/n\to 0 \). Le théorème de dérivation s’applique : la limite \( 0 \) est \( C^1 \) et \( 0'=\lim a_n'=0 \), cohérent. (1,5 pt)

b) \( \|b_n\|_\infty\le 1/\sqrt n\to 0 \), mais \( b_n'(x)=\sqrt n\cos(nx) \) et \( b_n'(0)=\sqrt n\to+\infty \). La convergence uniforme de \( (b_n) \) n’entraîne pas la convergence de \( (b_n') \) : il faut l’hypothèse sur les dérivées. (1,5 pt)

6 Vrai ou faux argumenté / 3 pts

a) Vrai : \( \left|\int_0^1(f_n-f)\right|\le\|f_n-f\|_\infty\to 0 \). (1 pt)

b) Faux : \( x^n \) sur \( [0,1] \) a pour limite simple une fonction discontinue en 1. (1 pt)

c) Faux : \( \|x^n/n\|_{\infty,[-1,1]}=1/n \) et la série harmonique diverge, donc pas de convergence normale (la série diverge d’ailleurs en \( x=1 \)). (1 pt)