Séries numériques : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Série géométrique / 3 pts

Justifie que \(\sum_{n\ge0}3\left(-\frac14\right)^n\) converge et calcule sa somme.

2 Télescopage / 3 pts

Montre que \(\sum_{n\ge1}\frac1{(n+1)(n+2)}\) converge et calcule sa somme.

3 Quatre natures / 4 pts

Étudie la nature de : a) \(\sum\frac{n+2}{n^3+4}\) ; b) \(\sum\frac1{n+\sqrt n}\) ; c) \(\sum\frac{7^n}{n!}\) ; d) \(\sum\left(\frac n{3n+1}\right)^n\).

4 Série alternée / 4 pts

On étudie \(\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n+1}\).

1. Montre qu’elle converge.
2. Est-elle absolument convergente ?
3. Donne une majoration de l’erreur commise en remplaçant la somme par \(S_9\).

5 Équivalent et Riemann / 3 pts

Étudie la nature de a) \(\sum\frac1{\sqrt[3]{n^2}}\) ; b) \(\sum\left(1-\cos\frac1n\right)\).

6 Produit de Cauchy / 3 pts

On considère \(a_n=\left(\frac14\right)^n\) et \(b_n=\left(\frac15\right)^n\) pour \(n\ge0\). Justifie que le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) converge et calcule sa somme.