Séries entières : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un premier rayon ★★★

Posons \(a_n=\dfrac{2^n}{n+1}\). Alors \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=2\cdot\dfrac{n+1}{n+2}\to 2\).

Par la règle de d’Alembert, \(R=\dfrac12\).

2 Un polynôme au numérateur ★★★

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+2}{n+1}\cdot\dfrac14\to\dfrac14\). Donc \(R=4\).

3 Exponentielle déguisée ★★★

1) \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{3}{n+1}\to0\), donc \(R=+\infty\).

2) \(\sum\dfrac{(3x)^n}{n!}=e^{3x}\). En \(x=\tfrac13\), la somme vaut \(e^{1}=e\).

4 Rayon nul ★★★

a) Pour \(x\ne0\), \(\left|\dfrac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}\right|=(n+1)|x|\to+\infty\) : la série diverge. Donc \(R=0\).

b) Pour \(x\ne0\), \(|n^nx^n|=(n|x|)^n\to+\infty\) dès que \(n|x|>1\) : divergence grossière. Donc \(R=0\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(|-2{,}5|<3\), il y a convergence absolue dans le disque ouvert.
2. Vrai : \(3{,}5>3\), la série diverge grossièrement.
3. Indéterminé : \(x=3\) est au bord, on ne peut rien conclure sans étude (\(\sum x^n/n\) et \(\sum x^n/n^2\) à rayon 1 se comportent différemment en \(1\)).
4. Vrai : si \(\sum a_n2^n\) converge, son terme général tend vers 0, donc \((a_n2^n)\) est bornée et \(R\ge2\) par définition du rayon.

6 Une somme géométrique alternée ★★★

C’est la série géométrique de raison \(q=-\dfrac x3\), qui converge ssi \(|x|<3\), de somme \(\dfrac1{1+x/3}=\dfrac{3}{3+x}\).

En \(x=1\) : \(\dfrac34\).

7 Développer l’exponentielle de 2x ★★★

1) \(e^{2x}=\sum_{n\ge0}\dfrac{2^n}{n!}x^n\), pour tout réel \(x\).

2) En \(x=1\) : \(\sum\dfrac{2^n}{n!}=e^2\approx7{,}389\). En \(x=-1\) : \(\sum\dfrac{(-2)^n}{n!}=e^{-2}\approx0{,}135\).

8 Une série lacunaire ★★★

Posons \(u_n=\dfrac{(n^2+1)x^{2n}}{3^n}\). \(\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}\cdot\dfrac{|x|^2}{3}\to\dfrac{|x|^2}{3}\). Convergence si \(|x|<\sqrt3\), divergence si \(|x|>\sqrt3\) : \(R=\sqrt3\).

En \(x=\sqrt3\) : \(u_n=n^2+1\to+\infty\), divergence grossière. Le domaine est \(]-\sqrt3,\sqrt3[\).

9 Étude du bord ★★★

\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n}{2(n+1)}\to\dfrac12\), donc \(R=2\).

En \(x=2\) : \(\sum\dfrac1n\) diverge (série harmonique). En \(x=-2\) : \(\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\) converge (série alternée, critère de Leibniz).

Le domaine est \([-2,2[\), représenté ci-dessous.

10 Produit de Cauchy ★★★

1) \(c_n=\sum_{k=0}^n1\cdot1=n+1\). Pour \(|x|<1\) : \(\sum(n+1)x^n=\left(\dfrac1{1-x}\right)^2=\dfrac1{(1-x)^2}\).

2) En \(x=\tfrac12\) : \(\sum\dfrac{n+1}{2^n}=\dfrac1{(1/2)^2}=4\). Or \(\sum\dfrac1{2^n}=2\), donc \(\sum\dfrac{n}{2^n}=4-2=2\).

11 Durée d’une partie de dés ★★★

Pour \(|x|<1\), \(\sum_{n\ge1}nx^{n-1}=\dfrac1{(1-x)^2}\) (dérivation terme à terme).

En \(x=\tfrac56\) : \(\sum nx^{n-1}=\dfrac1{(1/6)^2}=36\). Donc \(E(X)=\tfrac16\times36=6\).

En moyenne, il faut 6 lancers pour obtenir un six.

12 Un logarithme par intégration ★★★

1) Pour \(|t|<1\), \(\dfrac1{1-t}=\sum t^n\). On intègre de 0 à \(x\) : \(-\ln(1-x)=\sum\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}n\).

2) En \(x=\tfrac12\) : \(\sum\dfrac1{n2^n}=-\ln\tfrac12=\ln2\approx0{,}693\). En \(x=\tfrac13\) : \(\sum\dfrac1{n3^n}=-\ln\tfrac23=\ln\tfrac32\approx0{,}405\).

13 Fractions partielles ★★★

On cherche \(\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\dfrac A{1-x}+\dfrac B{1-2x}\) : \(1=A(1-2x)+B(1-x)\). En \(x=1\) : \(A=-1\) ; en \(x=\tfrac12\) : \(B=2\).

Donc \(f(x)=\sum(2\cdot2^n-1)x^n=\sum(2^{n+1}-1)x^n\). Contrôle : \(c_0=1\), \(c_1=3\) (par le produit de Cauchy \(1\cdot2+1\cdot1\)).

Rayon : \(\min(1,\tfrac12)=\tfrac12\).

14 Équation avec second membre ★★★

Posons \(y=\sum a_nx^n\), \(a_0=0\). Le coefficient constant donne \(a_1=2a_0+1=1\). Pour \(n\ge1\) : \((n+1)a_{n+1}=2a_n\).

Donc \(a_n=\dfrac{2^{n-1}}{n!}\) pour \(n\ge1\) (vérifié : \(a_2=1\), \(a_3=\tfrac23\)).

\(y=\sum_{n\ge1}\dfrac{2^{n-1}x^n}{n!}=\dfrac{e^{2x}-1}{2}\), de rayon infini.

15 Calculer un sinus à la main ★★★

\(\sin x\approx x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}\). Pour \(x=0{,}2\) : \(0{,}2-\dfrac{0{,}008}{6}+\dfrac{0{,}00032}{120}\approx0{,}198669333\).

La série est alternée avec termes décroissants en valeur absolue : l’erreur est majorée par le terme suivant, \(\dfrac{0{,}2^7}{5040}\approx2{,}5\times10^{-9}\).

Donc \(\sin(0{,}2)\approx0{,}19866933\).

16 Coefficients binomiaux centraux ★★★

1) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\dfrac{2(2n+1)}{n+1}\to4\), donc \(R=\tfrac14\).

2) En \(x=\tfrac14\) : le terme est \(u_n\ge\dfrac1{2n+1}\), terme d’une série divergente : divergence (la somme des \(2n+1\) coefficients du binôme vaut \(4^n\), donc le plus grand, \(\binom{2n}{n}\), est au moins \(4^n/(2n+1)\)).

En \(x=-\tfrac14\) : série alternée \(\sum(-1)^nu_n\). La suite \((u_n)\) décroît car \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n+1}{2n+2}<1\). Et \(u_n^2=\prod\left(\dfrac{2k-1}{2k}\right)^2\le\prod\dfrac{2k-1}{2k}\cdot\dfrac{2k}{2k+1}=\dfrac1{2n+1}\to0\) car \(\dfrac{2k-1}{2k}\le\dfrac{2k}{2k+1}\). Leibniz : convergence.

Domaine : \([-\tfrac14,\tfrac14[\).

17 Cauchy–Hadamard ★★★

\(|a_n|^{1/n}=\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\to e\). Par Cauchy–Hadamard, \(R=\dfrac1e\).

(La règle de d’Alembert serait ici pénible : le rapport \(a_{n+1}/a_n\) mêle des exposants \((n+1)^2\) et \(n^2\).)

18 Série de l’arctangente ★★★

1) \(\arctan'(t)=\dfrac1{1+t^2}=\sum(-1)^nt^{2n}\) pour \(|t|<1\). On intègre : \(\arctan x=\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}\), rayon 1.

2) Pour \(x=\dfrac1{\sqrt3}\) : \(x^{2n+1}=\dfrac1{\sqrt3\,3^n}\), donc \(\arctan\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}\sum\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}\).

Ainsi \(\sum\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}=\dfrac{\pi\sqrt3}{6}\approx0{,}9069\).

19 Développer cos² ★★★

\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac12+\dfrac12\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}\). Le terme \(n=0\) donne \(\tfrac12\) : \(\cos^2x=1+\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n}\), pour tout réel \(x\) (\(R=+\infty\)).

Pour \(x^6\) (\(n=3\)) : \(\dfrac{-2^5}{720}=-\dfrac{2}{45}\). Contrôle : \(n=1\) donne \(-x^2\), cohérent avec \(\cos^2x\approx1-x^2\).

20 Un sinus hyperbolique par récurrence ★★★

Avec \(y=\sum a_nx^n\) : \((n+2)(n+1)a_{n+2}=4a_n\). Conditions : \(a_0=0\), \(a_1=2\).

Les indices pairs sont nuls (\(a_0=0\)). Pour les impairs : \(a_3=\dfrac{4\cdot2}{6}=\dfrac43\), \(a_5=\dfrac{4a_3}{20}=\dfrac4{15}\), et en général \(a_{2n+1}=\dfrac{2^{2n+1}}{(2n+1)!}\).

Donc \(y=\sum\dfrac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\operatorname{sh}(2x)\), \(R=+\infty\).

21 Une équation à solution non élémentaire ★★★

Avec \(y=\sum a_nx^n\), \(a_0=0\) : le coefficient constant donne \(a_1=1\). Pour \(n\ge1\) : \((n+1)a_{n+1}=a_{n-1}\).

\(a_2=\dfrac{a_0}2=0\), \(a_3=\dfrac{a_1}{3}=\dfrac13\), \(a_5=\dfrac{a_3}5=\dfrac1{15}\), \(a_7=\dfrac{a_5}7=\dfrac1{105}\). Les indices pairs sont nuls.

\(y=x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{105}+\cdots\), avec \(a_{2k+1}=\dfrac{2^kk!}{(2k+1)!}\). Le rapport \(a_{2k+3}/a_{2k+1}=\dfrac{1}{2k+3}\to0\) donne \(R=+\infty\).

22 Rayon et substitution ★★★

1) Posons \(X=x^2\). Si \(|x|<\sqrt R\), alors \(|X|\lt R\) et \(\sum a_nX^n\) converge absolument. Si \(|x|>\sqrt R\), alors \(|X|>R\) et \((a_nX^n)\) n’est pas bornée : divergence. Donc le rayon est \(\sqrt R\).

2) Pour \(a_n=\binom{2n}n\), \(R=\tfrac14\) (exercice sur les coefficients binomiaux centraux), donc le rayon est \(\sqrt{1/4}=\tfrac12\).