Topologie des espaces métriques et normés : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Calculer des normes dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

Soit \(x=(2,-3,6)\) et \(y=(-1,1,2)\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\) et \(\|x\|_\infty\).
2. Calculer \(\|x-y\|_1\), \(\|x-y\|_2\) et \(\|x-y\|_\infty\).

2 Norme ou pas norme ? ★★★

Pour chaque application de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}_+\), dire si c’est une norme, en justifiant : \(N_1(x,y)=|x|+2|y|\) ; \(N_2(x,y)=|x-y|\) ; \(N_3(x,y)=x^2+y^2\).

3 Boules dans \(\mathbb{R}\) et aires de boules ★★★

1. Écrire sous forme d’intervalles la boule ouverte \(B(3,2)\) et la boule fermée \(B_f(-1,\tfrac12)\) de \(\mathbb{R}\) muni de \(|\cdot|\).
2. Calculer l’aire de la boule unité de \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)\) et celle de \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\).

4 Ouvert, fermé, ni l’un ni l’autre ★★★

Dans \(\mathbb{R}\), préciser si chaque partie est ouverte, fermée, ou ni l’un ni l’autre : \(A=\,]-2,3[\) ; \(B=[1,4]\) ; \(C=\,]0,1]\) ; \(D=\{\tfrac1n : n\ge1\}\) ; \(E=\mathbb{N}\).

5 Intérieur, adhérence, frontière ★★★

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière dans \(\mathbb{R}\) de \(A=\,]0,1[\,\cup\{2\}\) et de \(B=\mathbb{Q}\cap[0,1]\).

6 Limites de suites dans le plan ★★★

Déterminer la limite des suites de \(\mathbb{R}^2\) : \(u_n=\left(\dfrac{3n+1}{n+2},\dfrac{(-1)^n}{n}\right)\) et \(v_n=\left(n\sin\dfrac1n,\,e^{-n}\right)\). Calculer ensuite \(\|u_n-(3,0)\|_\infty\).

7 Continuité de la norme ★★★

Montrer que \(x\mapsto\|x\|\) est continue sur un espace normé. Vérifier l’inégalité sur \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)\) pour \(x=(3,4)\) et \(y=(3{,}1\,;\,3{,}9)\).

8 Chaîne d’inégalités entre trois normes du plan ★★★

Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^2\), \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt2\,\|x\|_2\le2\|x\|_\infty\). Pour chaque inégalité, donner un vecteur non nul réalisant l’égalité.

9 Un ouvert défini par deux inégalités ★★★

Soit \(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : xy>1\text{ et }x>0\}\). Montrer que \(A\) est ouvert, puis qu’il n’est pas fermé.

10 Densité des nombres dyadiques ★★★

Soit \(D=\left\{\dfrac{m}{2^k} : m\in\mathbb{Z},k\in\mathbb{N}\right\}\). Montrer que \(D\) est dense dans \(\mathbb{R}\). En déduire que si \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est continue et nulle sur \(D\), alors \(f=0\).

11 Norme d’une forme linéaire selon la norme choisie ★★★

Soit \(u(x,y)=2x-5y\). Calculer la norme d’opérateur de \(u : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) lorsque \(\mathbb{R}^2\) est muni de \(\|\cdot\|_1\), puis de \(\|\cdot\|_\infty\), puis de \(\|\cdot\|_2\).

12 Parties compactes du plan ★★★

Dans \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)\), dire si les parties suivantes sont compactes : (a) \(B_f((1,0),2)\) ; (b) \(\{xy=1\}\) ; (c) \(\{|x|+|y|<1\}\) ; (d) le cercle unité \(\cup\{(5,5)\}\) ; (e) \(\{(x,\sin x) : x\in[0,10]\}\).

13 Suites de Cauchy : une série et la série harmonique ★★★

On pose \(u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k^2}\) et \(H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1k\).

1. Montrer que pour \(m>n\ge1\), \(0
2. Montrer que \(H_{2n}-H_n\ge\dfrac12\) et conclure que \((H_n)\) n’est pas de Cauchy.

14 Le plan privé de l’origine est connexe par arcs ★★★

Montrer que \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\) est connexe par arcs, et que \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ne l’est pas.

15 Normes non équivalentes sur les fonctions continues ★★★

Dans \(C([0,1])\), on pose \(g_n(t)=\max(0,1-nt)\). Calculer \(\|g_n\|_\infty\) et \(\|g_n\|_1\). Les normes \(\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_1\) sont-elles équivalentes ?

16 Distance discrète ★★★

Sur un ensemble \(E\) à au moins deux éléments, on pose \(d(x,y)=1\) si \(x\ne y\) et \(d(x,x)=0\).

1. Décrire \(B(a,1)\), \(B(a,2)\) et \(B_f(a,1)\).
2. Montrer que toute partie est à la fois ouverte et fermée.
3. Quelles sont les suites convergentes ? Comparer \(\overline{B(a,1)}\) et \(B_f(a,1)\).

17 Une distance qui rend \(\mathbb{R}\) non complet ★★★

Pour \(x,y\in\mathbb{R}\), on pose \(d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|\).

1. Montrer que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer \(B(0,\tfrac\pi4)\).
3. Montrer que la suite \((n)_{n\ge0}\) est de Cauchy pour \(d\) mais ne converge pas dans \((\mathbb{R},d)\).

18 Un maximum sur un compact défini par deux contraintes ★★★

Soit \(F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le4\text{ et }y\ge x^2-2\}\).

1. Montrer que \(F\) est compact.
2. Montrer que \(f(x,y)=x\) atteint un maximum sur \(F\) et le déterminer.

19 Forme linéaire continue ou non selon la norme ★★★

Sur \(E=C([0,1])\), on pose \(\varphi(f)=\int_0^1f(t)\,dt\) et \(\psi(f)=f(\tfrac12)\).

1. Avec \(\|\cdot\|_\infty\), montrer que \(\varphi\) et \(\psi\) sont continues et calculer leurs normes.
2. Avec \(\|\cdot\|_1\), montrer que \(\varphi\) est continue de norme \(1\), mais que \(\psi\) n’est pas continue (utiliser \(f_n(t)=\max(0,1-n|t-\tfrac12|)\), \(n\ge2\)).

20 Point fixe de \(x\mapsto1+\dfrac1{1+x^2}\) ★★★

Soit \(f(x)=1+\dfrac1{1+x^2}\) sur \(F=[1,2]\).

1. Montrer que \(f(F)\subset F\) et que \(f\) est \(\tfrac12\)-lipschitzienne.
2. En déduire que \(f\) a un unique point fixe \(\ell\) et que \(\ell\) est racine de \(x^3-x^2+x-2\). Situer \(\ell\) dans \([1{,}35\,;\,1{,}36]\).
3. Pour \(u_0=1\), calculer \(u_1\), \(u_2\), et trouver \(n\) assurant \(|u_n-\ell|<10^{-3}\).

21 Image d’un cercle par une forme linéaire ★★★

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle unité de \(\mathbb{R}^2\) et \(f(x,y)=x+2y\).

1. Montrer que \(\mathcal{C}\) est connexe par arcs.
2. En déduire que \(f(\mathcal{C})\) est un intervalle et le déterminer.

22 \((C([0,1]),\|\cdot\|_1)\) n’est pas complet ★★★

Pour \(n\ge2\), soit \(f_n\) la fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\), nulle sur \([0,\tfrac12]\), égale à \(1\) sur \([\tfrac12+\tfrac1n,1]\) et affine entre les deux.

1. Calculer \(\int_0^1f_n\) et montrer que \((f_n)\) est de Cauchy pour \(\|\cdot\|_1\).
2. Montrer qu’elle ne converge pas dans \((C([0,1]),\|\cdot\|_1)\).