Séries entières : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Rayons de convergence / 4 pts

a) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2n+3}{2n+1}\cdot\dfrac15\to\dfrac15\) : \(R=5\). (1 pt)

b) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=4\cdot\dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\to4\) : \(R=\tfrac14\) (0,5 pt). Aux bords \(x=\pm\tfrac14\), \(|a_nx^n|=\dfrac1{n^2+1}\), série convergente : le domaine est \([-\tfrac14,\tfrac14]\). (1 pt)

c) \(\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|\dfrac{n^n}{(n+1)^n}=|x|\left(1+\dfrac1n\right)^{-n}\to\dfrac{|x|}e\) : \(R=e\). (1,5 pt)

2 Une somme à calculer / 3 pts

1) \(\dfrac1{1-x}\). (0,5 pt)

2) \(\sum nx^n=\dfrac x{(1-x)^2}\) et \(\sum n(n-1)x^n=\dfrac{2x^2}{(1-x)^3}\). Comme \(n^2=n(n-1)+n\) : \(\sum n^2x^n=\dfrac{2x^2+x(1-x)}{(1-x)^3}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}\). (1,5 pt)

3) En \(x=\tfrac12\) : \(\dfrac{\frac12\cdot\frac32}{\frac18}=6\). (1 pt)

3 Fractions rationnelles / 4 pts

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), donc \(f(x)=\dfrac1{x-3}-\dfrac1{x-2}\). (1 pt)

\(\dfrac1{x-3}=-\dfrac13\cdot\dfrac1{1-x/3}\) et \(-\dfrac1{x-2}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-x/2}\). (1 pt)

Donc \(f(x)=\sum\left(\dfrac1{2^{n+1}}-\dfrac1{3^{n+1}}\right)x^n\). (1 pt) Contrôle : \(f(0)=\tfrac16\).

Rayon : \(R=2\) (le plus petit des deux). (1 pt)

4 Intégration terme à terme / 4 pts

1) \(\dfrac{2x}{1+x^2}=2\sum(-1)^nx^{2n+1}\), \(|x|<1\). (1 pt)

2) \(\ln(1+x^2)=\int_0^x\dfrac{2t}{1+t^2}dt=\sum_{n\ge0}\dfrac{2(-1)^nx^{2n+2}}{2n+2}=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n}\), rayon \(1\). (2 pts)

3) En \(x=\tfrac12\) : \(\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n4^n}=\ln\dfrac54\approx0{,}2231\). (1 pt)

5 Équation différentielle / 5 pts

1) \(y''=\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\) et \(xy=\sum a_{n-1}x^n\) (\(n\ge1\)). Donc \(2a_2=0\) et \((n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}\) pour \(n\ge1\). (2 pts)

2) \(a_0=1\), \(a_1=0\), \(a_2=0\), \(a_3=\dfrac{a_0}{6}=\dfrac16\), \(a_4=\dfrac{a_1}{12}=0\), \(a_5=\dfrac{a_2}{20}=0\), \(a_6=\dfrac{a_3}{30}=\dfrac1{180}\). (1,5 pt)

3) Seuls les \(a_{3k}\) sont non nuls ; avec \(b_k=a_{3k}\), \(\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=\dfrac1{(3k+3)(3k+2)}\to0\), donc la série en \(X=x^3\) a un rayon infini, et \(y\) aussi. (1,5 pt)