21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Dérivées partielles d’un polynôme ★★★
Calculer les dérivées partielles premières de \(f(x,y) = 3x^2y - 5y^3 + 2x\).
2 Gradient en un point ★★★
Soit \(g(x,y) = x\,e^{y}\). Calculer \(\nabla g(2, 0)\).
3 Vrai ou faux : partielles et continuité ★★★
Vrai ou faux ? « Si \(f\) admet des dérivées partielles en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). » Justifier avec \(f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\).
4 Une jacobienne 3 × 2 ★★★
Écrire la matrice jacobienne de \(F(x,y) = (x + y,\ xy,\ x^2)\).
5 Dérivée dans une direction ★★★
Soit \(f(x,y) = x^2y\), \(a = (1, 2)\) et \(u = \left(\dfrac35, \dfrac45\right)\). Calculer la dérivée directionnelle \(D_uf(a)\).
6 Approximation affine ★★★
Avec \(f(x,y) = xy^2\) au voisinage de \((1, 3)\), estimer \(f(1{,}02;\ 2{,}99)\) à l’aide de la différentielle.
7 Vérifier Schwarz ★★★
Pour \(f(x,y) = x^2e^{3y}\), calculer \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\) et comparer.
8 Chaîne le long d’un cercle ★★★
Soit \(f(x,y) = xy + y^2\) et \(h(t) = f(\cos t, \sin t)\). Calculer \(h'(t)\) par la règle de la chaîne, puis vérifier par un calcul direct.
9 Composée de deux applications ★★★
Soit \(F(u,v) = (u+v,\ uv)\) et \(g(x,y) = x^2 + y\). On pose \(h = g \circ F\). Calculer \(\nabla h(1,2)\) avec la jacobienne, puis par développement.
10 Coordonnées polaires ★★★
Soit \(f(x,y) = x^2 + y^2\) et \(g(r,\theta) = f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\). Calculer \(\dfrac{\partial g}{\partial r}\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial\theta}\) par la règle de la chaîne. Que remarque-t-on ?
11 Un minimum global ★★★
Déterminer les points critiques de \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x\) et leur nature.
12 Un col et un minimum ★★★
Étudier les points critiques de \(f(x,y) = x^3 - 12x + y^2 - 4y\).
13 Tangente à une courbe implicite ★★★
Montrer que \(x^3 + xy + y^3 = 3\) définit \(y\) comme fonction de \(x\) près de \((1,1)\) et donner l’équation de la tangente.
14 Inversibilité locale ★★★
Soit \(F(x,y) = (x + y^2,\ y + x^2)\). Calculer \(J_F\), préciser où \(F\) est localement inversible et donner \(J_{F^{-1}}(0,0)\).
15 Problème de la boîte ★★★
On veut une boîte rectangulaire dont les trois dimensions \(x, y, z > 0\) vérifient \(x + y + z = 12\) (en dm). Quel volume maximal peut-on obtenir ?
16 Partielles sans différentiabilité ★★★
Soit \(f(x,y) = \dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\), \(f(0,0) = 0\). Montrer que \(f\) est continue en \((0,0)\), admet des dérivées partielles en \((0,0)\), mais n’y est pas différentiable.
17 Contre-exemple à Schwarz ★★★
Soit \(f(x,y) = \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) et \(f(0,0) = 0\). Calculer \(f_x(0,y)\) pour \(y \neq 0\) et \(f_y(x,0)\) pour \(x \neq 0\), puis les dérivées croisées en \((0,0)\).
18 Deux minima globaux ★★★
Étudier les extrema de \(f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy\), puis montrer que \(f\) admet un minimum global.
19 Cas dégénéré ★★★
Soit \(f(x,y) = x^2 + y^3\). Montrer que \((0,0)\) est un point critique de hessienne dégénérée, et que ce n’est pas un extremum.
20 Exponentielle complexe vue comme application ★★★
Soit \(F(x,y) = (e^x\cos y,\ e^x\sin y)\). Montrer que \(F\) est localement inversible en tout point mais n’est pas injective sur \(\mathbb{R}^2\).
21 Dérivées d’ordre 2 d’une fonction implicite ★★★
La relation \(y^3 + y = x\) définit \(y = \varphi(x)\) avec \(\varphi(2) = 1\). Calculer \(\varphi'(2)\) et \(\varphi''(2)\).
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