1 Normes d’un vecteur de \(\mathbb{R}^3\) / 4 pts
Soit \(x=(-2,6,-9)\) et \(y=(1,-2,2)\) dans \(\mathbb{R}^3\).
- Calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\) et \(\|x\|_\infty\).
- Calculer \(\|x-y\|_1\) et \(\|x-y\|_\infty\).
- Vérifier la chaîne \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\le3\|x\|_\infty\).
2 Topologie d’une partie de \(\mathbb{R}\) / 3 pts
Soit \(A=[0,1[\,\cup\{2\}\cup\left\{3-\tfrac1n : n\ge2\right\}\subset\mathbb{R}\).
- Déterminer l’intérieur de \(A\).
- Déterminer l’adhérence de \(A\).
- Déterminer la frontière de \(A\). \(A\) est-elle ouverte ? fermée ?
3 Une suite du plan et un compact / 3 pts
Soit \(u_n=\left(\dfrac{2n^2+1}{n^2+n},\left(\tfrac12\right)^n\right)\in\mathbb{R}^2\) pour \(n\ge1\), muni de \(\|\cdot\|_\infty\).
- Déterminer la limite \(\ell\) de \((u_n)\).
- Montrer que \(\|u_n-\ell\|_\infty\le\dfrac2n\), et trouver un rang \(N\) à partir duquel \(\|u_n-\ell\|_\infty<0{,}01\).
- Montrer que \(K=\{u_n : n\ge1\}\cup\{\ell\}\) est compact.
4 Norme d’opérateur d’un endomorphisme du plan / 4 pts
Soit \(u : (\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\to(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\) définie par \(u(x,y)=(x+2y,\,3x-y)\).
- Montrer que \(\|u(x,y)\|_\infty\le4\|(x,y)\|_\infty\).
- Déterminer la norme d’opérateur de \(u\).
- Montrer que \(u\) est bijective et que \(u^{-1}\) est continue.
5 Extrema d’une forme linéaire sur un losange / 3 pts
Soit \(K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|+|y|\le2\}\) et \(f(x,y)=x+3y\).
- Montrer que \(K\) est compact.
- Déterminer le maximum de \(f\) sur \(K\) et un point où il est atteint.
6 Point fixe de \(\tfrac13+\tfrac14\sin x\) / 3 pts
Soit \(g(x)=\dfrac13+\dfrac14\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montrer que \(g\) est une contraction de \(\mathbb{R}\).
- En déduire l’existence et l’unicité d’une solution \(\ell\) de \(g(x)=x\).
- Pour \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\), montrer que \(|u_n-\ell|\le\dfrac49\left(\tfrac14\right)^n\).
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