Logique et raisonnement : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Négations et valeurs de vérité / 3 pts

1. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 6x + 10 \le 0\). Comme \(x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1 \ge 1\), l’assertion est vraie. (1 pt)
2. Négation : \(\forall n \in \mathbb{N},\ 2n + 1 \ne 100\). \(2n+1\) est impair et \(100\) est pair : la négation est vraie. (1 pt)
3. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R},\ x \ge 3 \text{ et } x^2 < 9\). Si \(x \ge 3\), alors \(x^2 \ge 9\) : l’assertion est vraie. (1 pt)

2 Une somme par récurrence / 4 pts

Initialisation. Pour \(n = 1\) : le membre de gauche vaut \(1 \times 2^0 = 1\) et \((1-1) \times 2 + 1 = 1\). (1 pt)

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\) (hypothèse sur un \(n \ge 1\) fixé). (1 pt) Alors
\[\sum_{k=1}^{n+1} k\,2^{k-1} = (n-1)2^n + 1 + (n+1)2^n = 2n \cdot 2^n + 1 = n \cdot 2^{n+1} + 1.\]
C’est bien \(((n+1) - 1)\,2^{n+1} + 1\). (1,5 pt)

Conclusion : la formule est vraie pour tout \(n \ge 1\) ; par exemple, pour \(n = 3\), \(1 + 4 + 12 = 17 = 2 \times 8 + 1\). (0,5 pt)

3 Contraposée / 3 pts

Contraposée : si \(n\) n’est pas un multiple de \(5\), alors \(n^2\) n’est pas un multiple de \(5\). (1 pt)

Écrivons \(n = 5k + r\) avec \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\). Alors \(n^2 = 5(5k^2 + 2kr) + r^2\). (1 pt) Or \(r^2 \in \{1, 4, 9, 16\}\) a pour restes \(1, 4, 4, 1\) dans la division par \(5\) : jamais \(0\). Donc \(n^2\) n’est pas multiple de \(5\). (1 pt)

4 Preuve par l’absurde / 3 pts

Supposons par l’absurde \(\log_2(3) = \dfrac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers strictement positifs (car \(\log_2 3 > 0\)). (1 pt) Alors \(3 = 2^{p/q}\), donc \(3^q = 2^p\). (1 pt) Le membre de gauche est impair, celui de droite est pair (\(p \ge 1\)) : contradiction. Donc \(\log_2(3)\) n’est pas rationnel. (1 pt)

5 Analyse-synthèse / 4 pts

Analyse. Si \(x\) est solution, alors \(x - 1 \ge 0\), donc \(x \ge 1\). (1 pt) En élevant au carré : \(x + 11 = x^2 - 2x + 1\), soit \(x^2 - 3x - 10 = 0\), d’où \((x - 5)(x + 2) = 0\). (1 pt) Avec \(x \ge 1\), le seul candidat est \(x = 5\). (1 pt)

Synthèse. \(\sqrt{5 + 11} = \sqrt{16} = 4 = 5 - 1\) : la valeur \(5\) convient. Solution : \(\{5\}\). (1 pt)

6 Ensembles et cardinaux / 3 pts

\(A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) et \(B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\). (0,5 pt)

\(A \cap B = \{1, 3\}\) ; \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12\}\) ; \(A \setminus B = \{2, 4, 6, 12\}\) ; \(\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\). (4 × 0,5 pt)

Cardinaux : \(6 + 6 - 2 = 10 = \operatorname{Card}(A \cup B)\). (0,5 pt)