1 Forme algébrique / 4 pts
Donner la forme algébrique de : a) \((5 - 2\mathrm{i})(1 + 3\mathrm{i})\) ; b) \(\dfrac{3 + 4\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}}\) ; c) le module de \(-6 + 8\mathrm{i}\).
2 Forme exponentielle et puissance / 3 pts
Soit \(z = -1 - \mathrm{i}\sqrt{3}\). a) Donner son module et un argument. b) Écrire \(z\) sous forme exponentielle. c) Calculer \(z^9\).
3 Équation du second degré / 4 pts
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - (5 + \mathrm{i})z + (10 + 10\mathrm{i}) = 0\). On pourra utiliser que \((3 - 5\mathrm{i})^2 = -16 - 30\mathrm{i}\).
4 Linéarisation / 3 pts
Linéariser \(\sin^4 x\).
5 Racines quatrièmes / 3 pts
Résoudre \(z^4 = -16\) et écrire les solutions sous forme algébrique.
6 Un triangle rectangle isocèle / 3 pts
On donne \(A(-1 + \mathrm{i})\), \(B(3 + 2\mathrm{i})\) et \(C(-2 + 5\mathrm{i})\). Calculer \(\dfrac{c - a}{b - a}\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
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