Logique et raisonnement : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Négations et valeurs de vérité / 3 pts

Pour chaque assertion, écris sa négation et dis laquelle (assertion ou négation) est vraie.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 6x + 10 > 0\)
2. \(\exists n \in \mathbb{N},\ 2n + 1 = 100\)
3. \(\forall x \in \mathbb{R},\ (x \ge 3 \Rightarrow x^2 \ge 9)\)

2 Une somme par récurrence / 4 pts

Démontre que, pour tout entier \(n \ge 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\,2^{k-1} = (n-1)\,2^n + 1\).

3 Contraposée / 3 pts

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Démontre que si \(n^2\) est un multiple de \(5\), alors \(n\) est un multiple de \(5\), en énonçant et en démontrant la contraposée.

4 Preuve par l’absurde / 3 pts

Montre que \(\log_2(3)\) est irrationnel.

5 Analyse-synthèse / 4 pts

Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{x + 11} = x - 1\) par analyse-synthèse.

6 Ensembles et cardinaux / 3 pts

Soit \(E = \{1, 2, \dots, 12\}\), \(A\) l’ensemble des diviseurs de \(12\) et \(B\) l’ensemble des nombres impairs de \(E\). Donne \(A\), \(B\), \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(\overline{B}\), puis vérifie la formule du cardinal d’une réunion.