Logique et raisonnement : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Valeurs de vérité ★★★

\(7\) n’est divisible que par \(1\) et \(7\) : \(P\) est vraie. \(12 = 5 \times 2 + 2\) : \(Q\) est fausse.

• \(P\) et \(Q\) : fausse (il faut les deux vraies).
• \(P\) ou \(Q\) : vraie (\(P\) l’est).
• \(P \Rightarrow Q\) : fausse, car \(P\) est vraie et \(Q\) fausse.
• \(Q \Rightarrow P\) : vraie, car \(Q\) est fausse.
• \(P \Leftrightarrow Q\) : fausse, car \(P\) et \(Q\) n’ont pas la même valeur.

2 Implication et « non ou » ★★★

On calcule ligne par ligne :

Les deux dernières colonnes sont identiques : « (non \(P\)) ou \(Q\) » et \(P \Rightarrow Q\) sont logiquement équivalentes.

3 Vrai ou faux avec quantificateurs ★★★

1. Vraie : un carré réel est toujours positif ou nul.
2. Fausse : \(x^2 \ge 0 > -4\) pour tout réel \(x\).
3. Vraie : si \(n = 0\), \(0 \ge 0\) ; si \(n \ge 1\), \(n^2 = n \times n \ge n \times 1 = n\).
4. Fausse : \(2n + 1\) est impair, jamais égal à \(10\).
5. Fausse : contre-exemple \(x = 0\), car \(0 > 0\) est faux (de même pour \(x = 1\)).

4 Nier des assertions simples ★★★

1. Négation : \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \ne 50\). Comme \(7^2 = 49\) et \(8^2 = 64\), aucun carré ne vaut \(50\) : la négation est vraie.
2. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 4x + 5 \le 0\). Or \(x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 \ge 1 > 0\) : l’assertion est vraie.
3. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R},\ x > 2 \text{ et } x^2 \le 4\). Si \(x > 2\), alors \(x^2 > 4\) (fonction carré croissante sur \(\mathbb{R}_+\)) : l’assertion est vraie.

5 Intersection, réunion, différence ★★★

• \(A \cap B = \{2, 4, 6\}\).
• \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}\).
• \(A \setminus B = \{1, 3, 5\}\).
• \(B \setminus A = \{8\}\).
• \(\overline{A} = \{7, 8\}\).

Cardinaux : \(\operatorname{Card}(A) = 6\), \(\operatorname{Card}(B) = 4\), \(\operatorname{Card}(A \cap B) = 3\), donc \(6 + 4 - 3 = 7 = \operatorname{Card}(A \cup B)\). La formule est vérifiée.

6 Les parties d’un ensemble à trois éléments ★★★

Par taille : \(\varnothing\) ; \(\{a\}, \{b\}, \{c\}\) ; \(\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}\) ; \(\{a, b, c\}\).

Au total \(1 + 3 + 3 + 1 = 8\) parties, et \(2^3 = 8\) : la formule \(\operatorname{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{\operatorname{Card} E}\) est vérifiée.

7 Somme des premiers nombres impairs ★★★

Initialisation (\(n = 1\)). Le membre de gauche vaut \(1\) et \(1^2 = 1\).

Hérédité. Supposons \(1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2\) pour un \(n \ge 1\) fixé. Alors
\[1 + 3 + \dots + (2n-1) + (2n+1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2.\]
La propriété est vraie au rang \(n+1\).

Conclusion. Elle est vraie pour tout \(n \ge 1\). Par exemple, la somme des \(10\) premiers impairs vaut \(100\).

8 Une somme avec des factorielles ★★★

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(1 \times 1! = 1\) et \(2! - 1 = 1\).

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors
\[\sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! = (n+1)!\,(1 + n + 1) - 1 = (n+2)! - 1.\]
C’est la formule au rang \(n+1\).

Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n \ge 1\). Contrôle : pour \(n = 3\), \(1 + 4 + 18 = 23 = 4! - 1\).

9 Divisibilité par 6 ★★★

Initialisation. \(7^0 - 1 = 0 = 6 \times 0\).

Hérédité. Supposons \(7^n - 1 = 6k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Alors \(7^{n+1} - 1 = 7 \times 7^n - 1 = 7(7^n - 1) + 6 = 42k + 6 = 6(7k + 1)\), multiple de \(6\).

Conclusion. Pour tout \(n\), \(6\) divise \(7^n - 1\). Par exemple \(7^2 - 1 = 48 = 6 \times 8\).

10 Une inégalité à partir d’un certain rang ★★★

Contre-exemple. \(2^3 = 8 < 9 = 3^2\) : l’inégalité est fausse pour \(n = 3\), d’où le rang initial \(4\).

Initialisation (\(n = 4\)). \(2^4 = 16 = 4^2\), donc \(16 \ge 16\).

Hérédité. Supposons \(2^n \ge n^2\) avec \(n \ge 4\). Alors \(2^{n+1} = 2 \times 2^n \ge 2n^2\). Or \(2n^2 - (n+1)^2 = n^2 - 2n - 1 = (n-1)^2 - 2 \ge 9 - 2 > 0\) car \(n \ge 4\). Donc \(2^{n+1} \ge (n+1)^2\).

Conclusion. \(2^n \ge n^2\) pour tout \(n \ge 4\).

11 Raisonner par contraposée ★★★

Contraposée. « Si \(n\) n’est pas divisible par \(3\), alors \(n^2 - 1\) est divisible par \(3\). »

Si \(3\) ne divise pas \(n\), alors \(n = 3k + 1\) ou \(n = 3k + 2 = 3(k+1) - 1\). On peut donc écrire \(n = 3m \pm 1\) avec \(m \in \mathbb{N}\). Alors \(n^2 - 1 = 9m^2 \pm 6m = 3(3m^2 \pm 2m)\), divisible par \(3\).

La contraposée est vraie, donc l’implication de départ aussi. Contrôle : \(n = 5\) donne \(24 = 3 \times 8\) ; \(n = 6\) donne \(35\), non divisible par \(3\), et \(3 \mid 6\).

12 Absurde : une équation sans solution entière ★★★

Raisonnons par l’absurde : supposons \(x^2 - y^2 = 2\) avec \(x, y \in \mathbb{Z}\). Alors \((x - y)(x + y) = 2\).

Les entiers \(x - y\) et \(x + y\) ont la même parité, car leur différence \(2y\) est paire. Leur produit valant \(2\), qui est pair, l’un d’eux est pair, donc les deux le sont. Le produit est alors divisible par \(4\), or \(2\) ne l’est pas : contradiction.

Il n’existe donc aucun couple solution.

13 Permuter les quantificateurs ★★★

1. La première est vraie : pour \(x\) donné, \(y = x + 1\) convient. La seconde est fausse : si un tel \(y\) existait, on aurait \(y > y\) en prenant \(x = y\).
2. La première est vraie : pour \(x\) donné, \(y = -x\) convient. La seconde est fausse : un seul \(y\) devrait vérifier \(x + y = 0\) pour tous les \(x\) ; mais \(x = 0\) impose \(y = 0\) et \(x = 1\) impose \(y = -1\).

Moralité : dans « \(\forall x, \exists y\) », \(y\) peut dépendre de \(x\), pas dans « \(\exists y, \forall x\) ».

14 Lois de De Morgan ★★★

Preuve. Soit \(x \in \overline{A \cup B}\) : alors \(x \in E\) et \(x \notin A \cup B\), donc \(x \notin A\) et \(x \notin B\), c’est-à-dire \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\). Réciproquement, si \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\), alors \(x \notin A\) et \(x \notin B\), donc \(x \notin A \cup B\) et \(x \in \overline{A \cup B}\). Les deux ensembles sont égaux.

Exemple. \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\), \(B = \{3, 6, 9\}\), \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}\), donc \(\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}\). D’autre part \(\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) et \(\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}\), d’où \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}\) : même résultat.

15 Résoudre par analyse-synthèse ★★★

Analyse. Si \(x\) est solution, alors \(x = \sqrt{x+12} \ge 0\) et \(x^2 = x + 12\), soit \(x^2 - x - 12 = 0\), c’est-à-dire \((x - 4)(x + 3) = 0\). Donc \(x = 4\) ou \(x = -3\).

Synthèse. Pour \(x = 4\) : \(\sqrt{16} = 4\), valable. Pour \(x = -3\) : \(\sqrt{9} = 3 \ne -3\), à rejeter.

Solution : \(\{4\}\). La synthèse est nécessaire car élever au carré n’est pas une équivalence : \(a^2 = b^2\) n’entraîne que \(a = \pm b\).

16 Décomposition paire et impaire ★★★

Analyse. Si \(f = p + i\) avec \(p\) paire et \(i\) impaire, alors \(f(x) = p(x) + i(x)\) et \(f(-x) = p(x) - i(x)\). En additionnant et en soustrayant : \(p(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}\) et \(i(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}\). Ceci prouve l’unicité : \(p\) et \(i\) sont déterminées par \(f\).

Synthèse. Les fonctions ainsi définies sont respectivement paire et impaire (on remplace \(x\) par \(-x\)), et leur somme vaut \(f\) : c’est l’existence.

Application. \(f(-x) = -x^3 + 2x^2 + x + 5\), donc \(p(x) = 2x^2 + 5\) et \(i(x) = x^3 - x\). On vérifie \(p + i = f\).

17 Récurrence double ★★★

Comme la relation fait intervenir deux termes précédents, on utilise une récurrence à deux rangs : on montre \(P(n)\) : « \(u_n = 2^{n+1} - 1\) et \(u_{n+1} = 2^{n+2} - 1\) ».

Initialisation. \(2^1 - 1 = 1 = u_0\) et \(2^2 - 1 = 3 = u_1\).

Hérédité. Supposons \(P(n)\). Alors \(u_{n+2} = 3(2^{n+2} - 1) - 2(2^{n+1} - 1) = 3 \times 2^{n+2} - 2^{n+2} - 1 = 2 \times 2^{n+2} - 1 = 2^{n+3} - 1\). Donc \(u_{n+1} = 2^{n+2} - 1\) et \(u_{n+2} = 2^{n+3} - 1\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. \(u_n = 2^{n+1} - 1\) pour tout \(n\). Par exemple \(u_4 = 31\).

18 Irrationalité par l’absurde ★★★

1. Supposons \(\sqrt{6} = \dfrac{a}{b}\) avec \(a, b\) entiers strictement positifs premiers entre eux. Alors \(a^2 = 6b^2\), donc \(a^2\) est pair, donc \(a\) est pair : \(a = 2c\). Il vient \(4c^2 = 6b^2\), soit \(2c^2 = 3b^2\), donc \(b^2\) est pair et \(b\) est pair. Ainsi \(a\) et \(b\) sont tous deux pairs, ce qui contredit « premiers entre eux ». Donc \(\sqrt{6} \notin \mathbb{Q}\).

2. Supposons \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) rationnel. Alors \(x^2 = 5 + 2\sqrt{6}\), donc \(\sqrt{6} = \dfrac{x^2 - 5}{2}\) serait rationnel (opérations sur les rationnels) : contradiction avec 1. Donc \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) est irrationnel.

19 Nombre de parties d’un ensemble fini ★★★

Initialisation (\(n = 0\)). L’ensemble vide n’a qu’une partie, lui-même : \(1 = 2^0\).

Hérédité. Soit \(F\) un ensemble à \(n + 1\) éléments ; on fixe \(x \in F\) et on pose \(E = F \setminus \{x\}\), qui a \(n\) éléments donc \(2^n\) parties par hypothèse. Les parties de \(F\) se répartissent en deux familles disjointes : celles qui ne contiennent pas \(x\) (ce sont les parties de \(E\), au nombre de \(2^n\)) et celles qui contiennent \(x\) (elles s’écrivent \(A \cup \{x\}\) avec \(A \subset E\), donc encore \(2^n\)). Au total \(2 \times 2^n = 2^{n+1}\) parties.

Conclusion. Pour \(n = 4\), \(2^4 = 16\) parties.

20 Nier la convergence d’une suite ★★★

1. Négation : \(\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ |u_n - \ell| > \varepsilon\).

2. Vers \(0\) : prenons \(\varepsilon = \tfrac12\). Pour tout \(N\), tout \(n \ge N\) vérifie \(|u_n - 0| = 1 > \tfrac12\) ; la négation est vraie, donc \((u_n)\) ne converge pas vers \(0\).

Vers \(1\) : prenons \(\varepsilon = 1\). Pour tout \(N\), l’entier impair \(n = 2N + 1 \ge N\) donne \(|u_n - 1| = |-1 - 1| = 2 > 1\). Donc \((u_n)\) ne converge pas vers \(1\).

21 Une récurrence qui ne peut pas marcher ★★★

1. \(n = 0\) : \(41\) ; \(n = 1\) : \(43\) ; \(n = 2\) : \(47\) ; \(n = 3\) : \(53\). Ces quatre nombres sont premiers.

2. Pour \(n = 40\) : \(40^2 + 40 + 41 = 1600 + 81 = 1681 = 41^2\), qui n’est pas premier. Un seul contre-exemple réfute l’assertion universelle.

3. Quelques vérifications (même nombreuses) ne constituent pas une preuve. Une récurrence réussie établirait la propriété pour tout \(n\), y compris \(40\), ce qui est faux : l’hérédité est donc nécessairement fausse pour au moins un rang entre \(0\) et \(40\).