Logique et raisonnement : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Valeurs de vérité ★★★

On pose \(P\) : « \(7\) est un nombre premier » et \(Q\) : « \(12\) est un multiple de \(5\) ». Donne la valeur de vérité de \(P\), de \(Q\), puis de \(P \text{ et } Q\), \(P \text{ ou } Q\), \(P \Rightarrow Q\), \(Q \Rightarrow P\) et \(P \Leftrightarrow Q\).

2 Implication et « non ou » ★★★

Construis la table de vérité de « (non \(P\)) ou \(Q\) » et compare-la à celle de \(P \Rightarrow Q\). Que peux-tu conclure ?

3 Vrai ou faux avec quantificateurs ★★★

Indique si chaque assertion est vraie ou fausse, en justifiant (par une preuve rapide ou un contre-exemple).

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0\)
2. \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -4\)
3. \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \ge n\)
4. \(\exists n \in \mathbb{N},\ 2n + 1 = 10\)
5. \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x\)

4 Nier des assertions simples ★★★

Écris la négation de chaque assertion, puis précise laquelle des deux (assertion ou négation) est vraie.

1. \(\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = 50\)
2. \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 4x + 5 > 0\)
3. \(\forall x \in \mathbb{R},\ (x > 2 \Rightarrow x^2 > 4)\)

5 Intersection, réunion, différence ★★★

Soit \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et \(B = \{2, 4, 6, 8\}\). Détermine \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(\overline{A}\) (dans \(E\)), puis vérifie la formule du cardinal d’une réunion.

6 Les parties d’un ensemble à trois éléments ★★★

Liste toutes les parties de \(E = \{a, b, c\}\). Combien y en a-t-il ? Vérifie avec la formule du cours.

7 Somme des premiers nombres impairs ★★★

Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n \ge 1\), \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2\).

8 Une somme avec des factorielles ★★★

Démontre que, pour tout \(n \ge 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1\).

9 Divisibilité par 6 ★★★

Montre par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(7^n - 1\) est un multiple de \(6\).

10 Une inégalité à partir d’un certain rang ★★★

Démontre que \(2^n \ge n^2\) pour tout entier \(n \ge 4\). Montre aussi que l’inégalité est fausse pour \(n = 3\).

11 Raisonner par contraposée ★★★

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Démontre : si \(n^2 - 1\) n’est pas divisible par \(3\), alors \(n\) est divisible par \(3\). (Énonce d’abord la contraposée.)

12 Absurde : une équation sans solution entière ★★★

Montre qu’il n’existe aucun couple d’entiers \((x, y)\) tel que \(x^2 - y^2 = 2\).

13 Permuter les quantificateurs ★★★

Dans chaque cas, compare les deux assertions (réels \(x\) et \(y\)) et dis lesquelles sont vraies.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x\) et \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x\)
2. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0\) et \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0\)

14 Lois de De Morgan ★★★

Soit \(E\) un ensemble, \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Démontre par double inclusion que \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\). Illustre avec \(E = \{1, \dots, 10\}\), \(A\) l’ensemble des multiples de \(2\) et \(B\) celui des multiples de \(3\).

15 Résoudre par analyse-synthèse ★★★

Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{x + 12} = x\) en rédigeant l’analyse puis la synthèse. Pourquoi la synthèse est-elle indispensable ?

16 Décomposition paire et impaire ★★★

Montre que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de façon unique \(f = p + i\) avec \(p\) paire et \(i\) impaire (analyse-synthèse). Applique à \(f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 5\).

17 Récurrence double ★★★

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n\). Démontre que \(u_n = 2^{n+1} - 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

18 Irrationalité par l’absurde ★★★

1. Démontre que \(\sqrt{6}\) est irrationnel. 2. En déduire que \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) est irrationnel.

19 Nombre de parties d’un ensemble fini ★★★

Démontre par récurrence sur \(n\) que tout ensemble à \(n\) éléments possède \(2^n\) parties. Combien de parties a un ensemble à \(4\) éléments ?

20 Nier la convergence d’une suite ★★★

Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| \le \varepsilon\). 1. Écris la négation. 2. Prouve que \(u_n = (-1)^n\) ne converge pas vers \(0\), puis pas vers \(1\).

21 Une récurrence qui ne peut pas marcher ★★★

Un élève affirme : « pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n^2 + n + 41\) est un nombre premier ». Il vérifie \(n = 0, 1, 2, 3\). 1. Fais ces vérifications. 2. Trouve un contre-exemple. 3. Explique pourquoi aucune récurrence ne pourrait établir cette assertion.