Applications et relations : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une fonction polynomiale / 4 pts

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2-4x+3 \). (Calculatrice non autorisée.)

1. Déterminer \( f([0,5]) \).
2. Déterminer \( f^{-1}(\{0\}) \).
3. Déterminer \( f^{-1}([-1,0]) \).
4. \( f \) est-elle injective ? surjective ? Justifier.

2 Une homographie / 4 pts

Soit \( h : \mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\},\ h(x)=\dfrac{3x-1}{x+2} \).

1. Montrer que \( h \) est injective.
2. Montrer que \( h \) est bijective et donner \( h^{-1} \).
3. Vérifier avec \( x=1 \).

3 Doubler puis moitié / 3 pts

Sur \( \mathbb{N} \), soient \( f(n)=2n \) et \( g(n)=\lfloor n/2\rfloor \).

1. Calculer \( (g\circ f)(7) \) et \( (f\circ g)(7) \).
2. Déterminer \( g\circ f \) et dire laquelle des deux composées est bijective.
3. Étudier injectivité et surjectivité de \( f \) et de \( g \).

4 Une relation sur les entiers / 4 pts

Sur \( \mathbb{Z} \), on pose \( x\sim y\iff x^2\equiv y^2\ [5] \).

1. Montrer que \( \sim \) est une relation d’équivalence.
2. Déterminer les classes de \( 0 \), \( 1 \) et \( 2 \), puis le nombre de classes.

5 Congruences / 3 pts

a) Résoudre \( 4x\equiv7\ [9] \). b) Déterminer le reste de \( 7^{2026} \) dans la division par \( 10 \).

6 Diviseurs de 24 / 2 pts

On munit \( D=\{1,2,3,4,6,8,12,24\} \) de la divisibilité. Cette relation est une relation d’ordre (admis). Donner le plus petit et le plus grand élément, deux éléments incomparables, et dire si l’ordre est total.