Limites et continuité : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Une limite par ε-δ ★★★

Pour tout \(x\), \(|f(x)-17|=|5x-15|=5|x-3|\).

Soit \(\varepsilon>0\) ; en posant \(\delta=\varepsilon/5\), \(|x-3|\le\delta\) entraîne \(|f(x)-17|\le5\delta=\varepsilon\). La limite vaut donc \(17\).

Pour \(\varepsilon=0{,}01\), on prend \(\delta=0{,}01/5=0{,}002\).

2 Limite d’un polynôme ★★★

Un polynôme est continu sur \(\mathbb{R}\), donc la limite est la valeur en \(-1\) : \((-1)^2+3\times(-1)-2=1-3-2=-4\).

La limite vaut \(-4\).

3 Limite en l’infini d’un quotient ★★★

On factorise par \(x^2\) : \(\dfrac{4x^2-x+1}{2x^2+5}=\dfrac{4-\frac1x+\frac1{x^2}}{2+\frac5{x^2}}\).

Le numérateur tend vers \(4\), le dénominateur vers \(2\) : la limite vaut \(\dfrac42=2\).

4 Limite à gauche et à droite ★★★

Si \(x\to4^-\), \(x-4\) est négatif et tend vers \(0\) : \(f(x)\to-\infty\).

Si \(x\to4^+\), \(x-4\) est positif et tend vers \(0\) : \(f(x)\to+\infty\).

Les deux limites sont différentes : \(f\) n’a pas de limite en \(4\).

5 Partie entière en 3 ★★★

Pour \(x\in[3,4[\), \(E(x)=3\) : la limite à droite est \(3=E(3)\), donc \(E\) est continue à droite en \(3\).

Pour \(x\in[2,3[\), \(E(x)=2\) : la limite à gauche est \(2\ne E(3)=3\).

\(E\) n’est donc pas continue à gauche, ni continue, en \(3\).

6 Prolonger par continuité ★★★

Pour \(x\ne3\), \(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), donc \(\lim_{x\to3}f(x)=6\).

La continuité en \(3\) impose \(k=\lim_{x\to 3}f(x)\), c’est-à-dire \(k=6\).

7 Une racine carrée par le TVI ★★★

Posons \(g(x)=x^2-7\), continue sur \([2,3]\). On a \(g(2)=-3<0\) et \(g(3)=2>0\).

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c\in]2,3[\) tel que \(g(c)=0\), donc \(c^2=7\) (on retrouve \(c=\sqrt7\approx2{,}646\)).

8 Une limite trigonométrique ★★★

Pour \(x\ne0\), \(\dfrac{\sin(3x)}{x}=3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\).

Avec \(u=3x\to0\), \(\dfrac{\sin u}{u}\to1\). Par composition et produit, la limite vaut \(3\times1=3\).

9 Le théorème d’encadrement ★★★

Pour tout \(x\ne0\), \(-1\le\cos(1/x)\le1\), donc \(-x^2\le x^2\cos(1/x)\le x^2\).

Les deux bornes tendent vers \(0\) en \(0\) : par encadrement, la limite de \(x^2\cos(1/x)\) est \(0\).

10 Pas de limite pour sin(1/x) ★★★

Posons \(x_n=\dfrac1{n\pi}\) et \(y_n=\dfrac1{\pi/2+2n\pi}\). Ces deux suites tendent vers \(0\).

On a \(f(x_n)=\sin(n\pi)=0\) pour tout \(n\), donc \(f(x_n)\to0\), et \(f(y_n)=\sin(\pi/2+2n\pi)=1\), donc \(f(y_n)\to1\).

Les limites sont différentes : par la caractérisation séquentielle, \(f\) n’a pas de limite en \(0\).

11 Cosinus égal à x ★★★

Posons \(g(x)=\cos x-x\), continue sur \([0,1]\). On a \(g(0)=1>0\) et \(g(1)=\cos1-1\approx-0{,}46<0\) : par le TVI, il existe une solution.

De plus \(g\) est strictement décroissante sur \([0,1]\) (somme de \(\cos\), décroissante sur \([0,\pi]\), et de \(-x\)) : la solution est unique.

Comme \(g(0{,}7)\approx0{,}065>0\) et \(g(0{,}8)\approx-0{,}103<0\), la solution est dans \(]0{,}7;0{,}8[\) ; elle vaut environ \(0{,}739\).

12 Image d’un segment ★★★

\(f\) est continue sur le segment \([-2,2]\) : son image est un segment \([m,M]\).

La dérivée \(f'(x)=3x^2-3\) s’annule en \(\pm1\). Les valeurs aux points remarquables sont \(f(-2)=-2\), \(f(-1)=2\), \(f(1)=-2\), \(f(2)=2\).

Le minimum est \(-2\) et le maximum est \(2\) : \(f([-2,2])=[-2,2]\).

13 Une bijection et sa réciproque ★★★

\(f\) est continue et strictement croissante (produit \(x(x+2)\) de deux fonctions positives strictement croissantes), \(f(0)=0\) et \(f(x)\to+\infty\) : c’est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \([0,+\infty[\).

De \(y=x^2+2x\) on tire \((x+1)^2=1+y\), donc \(x=\sqrt{1+y}-1\) car \(x\ge0\). Ainsi \(f^{-1}(y)=\sqrt{1+y}-1\).

\(f^{-1}(15)=\sqrt{16}-1=3\), cohérent avec \(f(3)=9+6=15\).

14 Limite d’une fonction monotone ★★★

On écrit \(f(x)=1-\dfrac1{1+x^2}\). Comme \(1+x^2\) croît sur \([0,+\infty[\), \(\dfrac1{1+x^2}\) décroît, et \(f\) est croissante.

De plus \(f(x)<1\) : \(f\) est majorée. Une fonction croissante majorée a une limite finie en \(+\infty\).

Ici \(\dfrac1{1+x^2}\to0\), donc \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\) (par exemple \(f(3)=0{,}9\)).

15 Un point fixe ★★★

Posons \(g(x)=f(x)-x\), continue sur \([0,1]\).

\(g(0)=f(0)\ge0\) car \(f(0)\in[0,1]\), et \(g(1)=f(1)-1\le0\) car \(f(1)\le1\).

Si \(g(0)=0\) ou \(g(1)=0\), on a un point fixe. Sinon \(g(0)>0>g(1)\) et le TVI donne \(c\in]0,1[\) avec \(g(c)=0\), soit \(f(c)=c\).

16 Racine carrée uniformément continue ★★★

Supposons \(x\ge y\ge0\). Alors \(0\le\sqrt x-\sqrt y\le\sqrt x+\sqrt y\), donc \((\sqrt x-\sqrt y)^2\le(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=x-y\), d’où \(\sqrt x-\sqrt y\le\sqrt{x-y}\).

Par symétrie, \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}\) pour tous \(x,y\ge0\).

Soit \(\varepsilon>0\) ; avec \(\delta=\varepsilon^2\), \(|x-y|\le\delta\) entraîne \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\varepsilon\). La fonction est uniformément continue.

17 Le carré n’est pas uniformément continu ★★★

Posons \(x_n=n\) et \(y_n=n+\dfrac1n\). Alors \(|x_n-y_n|=\dfrac1n\to0\).

Mais \(y_n^2-x_n^2=2+\dfrac1{n^2}\ge2\).

Pour \(\varepsilon=1\), aucun \(\delta>0\) ne convient : dès que \(\frac1n\le\delta\), on a \(|y_n^2-x_n^2|\ge2>1\). La fonction n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

18 Les fonctions additives continues ★★★

Avec \(x=y=0\), \(f(0)=2f(0)\) donc \(f(0)=0\). Avec \(y=-x\), \(f(-x)=-f(x)\).

Par récurrence, \(f(n)=nf(1)=na\) pour \(n\in\mathbb{N}\), puis pour \(n\in\mathbb{Z}\) par imparité.

Pour \(r=p/q\) rationnel, \(qf(p/q)=f(p)=pa\), donc \(f(r)=ar\).

Soit \(x\) réel ; il existe des rationnels \(r_n\to x\). Par continuité, \(f(x)=\lim f(r_n)=\lim ar_n=ax\).

19 Une fonction définie avec la partie entière ★★★

Sur \(]n,n+1[\), \(E(x)=n\) et \(f(x)=n+(x-n)^2\) est un polynôme : \(f\) est continue.

En un entier \(n\) : à droite \(f(x)=n+(x-n)^2\to n=f(n)\) ; à gauche, \(E(x)=n-1\) et \(f(x)=n-1+(x-n+1)^2\to n-1+1=n=f(n)\).

Les limites à gauche et à droite valent \(f(n)\) : \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

\(f(2{,}5)=2+0{,}5^2=2{,}25\) et \(f(-0{,}5)=-1+0{,}5^2=-0{,}75\).

20 Réciproque de x³ + x ★★★

\(f\) est continue et strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes). Ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) valent \(-\infty\) et \(+\infty\) : par le TVI, \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\).

Le théorème de la bijection montre que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(f^{-1}\) est continue, strictement croissante.

On a \(f(1)=2\) donc \(f^{-1}(2)=1\), et \(f(2)=8+2=10\) donc \(f^{-1}(10)=2\).