1 Nombre dérivé de la racine / 3 pts
Soit \(f(x)=\sqrt x\). 1) Calcule \(f'(4)\) à l’aide du taux d’accroissement (multiplie par la quantité conjuguée). 2) Donne l’équation de la tangente en \(a=4\).
2 Rolle sur une cubique / 3 pts
Soit \(f(x)=x^3-3x\) sur \([-\sqrt3,\sqrt3]\). Vérifie les hypothèses de Rolle et détermine tous les \(c\) possibles.
3 Encadrement par les accroissements finis / 3 pts
1) Montre que pour tout \(x\gt0\), \(\dfrac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\lt x\). 2) Déduis-en un encadrement de \(\ln1{,}5\).
4 Convexité et inflexion / 3 pts
Soit \(f(x)=xe^x\). Calcule \(f'\) et \(f''\), étudie la convexité de \(f\), puis donne les coordonnées du point d’inflexion.
5 Un développement limité à exploiter / 4 pts
1) Donne le développement limité d’ordre 3 en 0 de \(f(x)=e^x\cos x\). 2) Déduis-en \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x\cos x-1-x}{x^3}\). 3) Que dire de la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0 ?
6 L’Hôpital et Taylor-Lagrange / 4 pts
1) Calcule \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}\) avec la règle de L’Hôpital. 2) Montre que \(|\sin x-x|\le\dfrac{|x|^3}6\) pour tout réel \(x\) et applique-le à \(x=0{,}3\).
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