Intégration et primitives : exercices de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Un polynôme sous l’intégrale ★★★

Calculer \( I=\displaystyle\int_0^3(2x+1)\,dx \).

2 Primitive et calcul ★★★

Déterminer une primitive de \( f(x)=3x^2-4x+5 \), puis calculer \( \displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx \).

3 Sinus et cosinus ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^{\pi}(\sin x+\cos x)\,dx \).

4 Exponentielle composée ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx \).

5 Vrai ou faux : fonctions paires et impaires ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant : a) \( \displaystyle\int_{-1}^{1}x^3\,dx=0 \) ; b) \( \displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx=0 \).

6 Aire sous une courbe ★★★

La figure montre la courbe de \( f(x)=x^2+1 \). Calculer l’aire (en unités d’aire) du domaine coloré, compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \( x=0 \) et \( x=2 \).

7 Distance et vitesse moyenne ★★★

Un robot-livreur a une vitesse \( v(t)=t^2 \) (en m/s) pendant les trois premières secondes. Calculer la distance parcourue puis sa vitesse moyenne.

8 Une première intégration par parties ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx \).

9 Intégrale du logarithme ★★★

Montrer que \( x\mapsto x\ln x-x \) est une primitive de \( \ln \) sur \( ]0\,;+\infty[ \), puis calculer \( \displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx \).

10 Changement de variable rationnel ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x^2+3}\,dx \) avec \( u=x^2+3 \).

11 Puissance de cosinus ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\cos^2x\,dx \) par le changement \( u=\cos x \).

12 Somme de Riemann explicite ★★★

Pour \( n\geqslant1 \), on pose \( S_n=\dfrac{1}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 \). a) Calculer \( S_4 \). b) Montrer que \( S_n\) converge et donner sa limite.

13 Décomposition en éléments simples ★★★

Décomposer \( \dfrac{1}{x(x+2)} \) puis calculer \( \displaystyle\int_1^3\dfrac{dx}{x(x+2)} \).

14 Convergence de deux intégrales ★★★

Étudier la nature de \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^3} \) et de \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\sqrt x} \). Donner la valeur quand elle existe.

15 Intégration par parties répétée ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx \) à l’aide de deux intégrations par parties.

16 Exponentielle fois sinus ★★★

On pose \( I=\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin x\,dx \) et \( J=\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\cos x\,dx \). Établir deux relations entre \( I \) et \( J \) par parties, puis en déduire \( I \).

17 Aire du quart de disque ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx \) avec \( x=\sin t \). Quelle aire retrouve-t-on ?

18 Fraction rationnelle complète ★★★

Décomposer \( \dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)} \) puis calculer \( \displaystyle\int_2^3\dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx \).

19 Limite d’une somme ★★★

Déterminer la limite de \( u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k} \).

20 Une intégrale généralisée avec une exponentielle ★★★

Montrer que \( \displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx \) converge et calculer sa valeur.

21 Encadrement et limite ★★★

On pose \( a_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx \). Encadrer \( a_n \) et en déduire sa limite.