20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Une limite par ε-δ ★★★
Soit \(f(x)=5x+2\). Montre que \(\lim_{x\to3}f(x)=17\) avec la définition, puis donne un \(\delta\) qui convient pour \(\varepsilon=0{,}01\).
2 Limite d’un polynôme ★★★
Calcule \(\lim_{x\to-1}(x^2+3x-2)\). Justifie.
3 Limite en l’infini d’un quotient ★★★
Calcule \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-x+1}{2x^2+5}\).
4 Limite à gauche et à droite ★★★
Détermine les limites de \(f(x)=\dfrac1{x-4}\) à gauche et à droite en \(4\). \(f\) admet-elle une limite en \(4\) ?
5 Partie entière en 3 ★★★
Soit \(E\) la partie entière. Étudie la continuité à gauche et à droite de \(E\) en \(3\).
6 Prolonger par continuité ★★★
On pose \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\) pour \(x\ne3\) et \(f(3)=k\). Quelle valeur de \(k\) rend \(f\) continue en \(3\) ?
7 Une racine carrée par le TVI ★★★
Montre que l’équation \(x^2=7\) a une solution dans \([2,3]\).
8 Une limite trigonométrique ★★★
On admet que \(\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1\). Calcule \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{x}\).
9 Le théorème d’encadrement ★★★
Montre que \(\lim_{x\to0}x^2\cos\left(\dfrac1x\right)=0\).
10 Pas de limite pour sin(1/x) ★★★
Montre, avec deux suites, que \(f(x)=\sin(1/x)\) n’a pas de limite en \(0\).
11 Cosinus égal à x ★★★
Montre que l’équation \(\cos x=x\) a une unique solution dans \([0,1]\), et donne un encadrement approché.
12 Image d’un segment ★★★
Soit \(f(x)=x^3-3x\) sur \([-2,2]\). Détermine \(f([-2,2])\) en justifiant que c’est un segment.
13 Une bijection et sa réciproque ★★★
Soit \(f(x)=x^2+2x\) sur \([0,+\infty[\). Montre que \(f\) est bijective sur \([0,+\infty[\), donne \(f^{-1}\) et calcule \(f^{-1}(15)\).
14 Limite d’une fonction monotone ★★★
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}\) sur \([0,+\infty[\). Montre que \(f\) est croissante et majorée, déduis l’existence d’une limite en \(+\infty\) puis calcule-la.
15 Un point fixe ★★★
Soit \(f:[0,1]\to[0,1]\) continue. Montre qu’il existe \(c\in[0,1]\) tel que \(f(c)=c\).
16 Racine carrée uniformément continue ★★★
Montre que \(\sqrt{\ }\) est uniformément continue sur \([0,+\infty[\) en prouvant que \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}\).
17 Le carré n’est pas uniformément continu ★★★
Montre que \(x\mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
18 Les fonctions additives continues ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue telle que \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) pour tous \(x,y\). Montre que \(f(x)=ax\) avec \(a=f(1)\).
19 Une fonction définie avec la partie entière ★★★
Étudie la continuité sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x)=E(x)+(x-E(x))^2\) et calcule \(f(2{,}5)\) et \(f(-0{,}5)\).
20 Réciproque de x³ + x ★★★
Soit \(f(x)=x^3+x\). Montre que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), que \(f^{-1}\) est continue et strictement croissante, puis calcule \(f^{-1}(2)\) et \(f^{-1}(10)\).
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